📈 Матанализ

Формулы понижения степени

Q: Зачем понижать степень, если можно заменить t = sin x?

Когда в уравнении только $\sin^2 x$ — замена работает сразу. Но если рядом стоит $\cos 2x$ или $\cos^2 x$, функций становится две, и понижение степени приводит всё к одной: либо к $\sin x$ через основное тождество, либо к $\cos 2x$ через формулу. Выбор определяется тем, к какой единственной функции сворачивается всё уравнение.

Q: Откуда берутся эти формулы?

Из косинуса двойного угла, переписанного дважды: $\cos 2t = 1 - 2\sin^2 t$ и $\cos 2t = 2\cos^2 t - 1$. Каждый вариант разрешается относительно квадрата — получаются две формулы. Это один факт в четырёх видах записи, и все четыре нужны: какая-то из них подойдёт под конкретное уравнение.

англ. Power reduction formulas

sin²t = (1 − cos 2t)/2 и cos²t = (1 + cos 2t)/2: квадрат функции заменяется косинусом двойного угла — мост к линейным уравнениям.

Формулы понижения степени — переписанный косинус двойного угла: из $cos 2 t = 1 - 2 sin^{2} t$ следует $sin^{2} t = \frac{1 - c o s 2 t}{2}$ , а из $cos 2 t = 2 cos^{2} t - 1$ — $cos^{2} t = \frac{1 + c o s 2 t}{2}$ . Смысл: квадрат тригонометрической функции первой степени заменяется линейной функцией двойного угла. Степень «понижается», но частота удваивается — эта плата всегда окупается в уравнениях.

Главное применение — уравнения со смешанными степенями: $sin^{2} x + cos 2 x = \frac{1}{4}$ после замены $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x$ становится линейным относительно $sin^{2} x$ : $1 - sin^{2} x = \frac{1}{4}$ … точнее, аккуратнее: $sin^{2} x - sin^{2} x$ — см. разбор на странице сведение к квадратному, где понижение степени — подготовительный шаг перед заменой $t = sin x$ или $t = cos 2 x$ . Проверка формулы числом: $sin^{2} \frac{π}{6} = \frac{1}{4}$ , а $\frac{1 - c o s \frac{π}{3}}{2} = \frac{1 - 0 , 5}{2} = \frac{1}{4}$ — сходится. Формула — прямой родственник формул двойного угла.

sin^{2} t = \frac{1 - cos 2 t}{2}; cos^{2} t = \frac{1 + cos 2 t}{2}; sin^{2} t + cos^{2} t = 1 — контроль

пара понижающих формул и контрольное тождество

Частые вопросы

Зачем понижать степень, если можно заменить t = sin x?

Когда в уравнении только $sin^{2} x$ — замена работает сразу. Но если рядом стоит $cos 2 x$ или $cos^{2} x$ , функций становится две, и понижение степени приводит всё к одной: либо к $sin x$ через основное тождество, либо к $cos 2 x$ через формулу. Выбор определяется тем, к какой единственной функции сворачивается всё уравнение.

Откуда берутся эти формулы?

Из косинуса двойного угла, переписанного дважды: $cos 2 t = 1 - 2 sin^{2} t$ и $cos 2 t = 2 cos^{2} t - 1$ . Каждый вариант разрешается относительно квадрата — получаются две формулы. Это один факт в четырёх видах записи, и все четыре нужны: какая-то из них подойдёт под конкретное уравнение.