📈 Матанализ

Формула Стокса

англ. Stokes' theorem

Теорема, связывающая циркуляцию векторного поля по контуру с потоком ротора через натянутую поверхность: ∮ F·dr = ∬ rot F·n dS; трёхмерное обобщение формулы Грина.

Формула Стокса утверждает: циркуляция поля по замкнутому контуру равна потоку ротора через любую поверхность, натянутую на этот контур: $\oint_{\partial S} F \cdot d r = \iint_{S} rot F \cdot n d S$ . Интуиция: разобьём поверхность на маленькие ячейки — циркуляции соседних ячеек гаснут по общим рёбрам, и выживает только вклад внешней границы. Ротор измеряет локальное «вращение», интеграл собирает его в глобальную циркуляцию.

Частный случай на плоскости — формула Грина, а замкнутая поверхность-«пузырь» превращает Стокса в Гаусса–Остроградского: у пузыря граница пуста, значит суммарный поток ротора равен нулю, что согласуется с $div rot = 0$ . Критично согласование ориентаций: обход контура и нормаль связаны правилом правой руки, иначе знак перевернётся. Из Стокса немедленно следуют критерии потенциальности: если $rot F = 0$ в односвязной области, циркуляции нулевые, поле градиентно (см. циркуляция).

\oint_{\partial S} P d x + Q d y + R d z = \iint_{S} (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}) d y d z + (\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}) d z d x + (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y

формула Стокса в координатной записи

Частые вопросы

Поверхность можно выбирать любую — ответ не изменится?

Изменится не может: поток ротора через любые две поверхности с общим контуром одинаков, потому что их разность — замкнутая поверхность, а поток ротора через замкнутую поверхность нулевой. Этим пользуются на практике: вместо кривой чаши натягивают плоский диск, если он лежит в области гладкости поля.

Чем формула Стокса отличается от формулы Грина?

Грина — плоский частный случай: поверхность лежит в плоскости $O x y$ , ротор сводится к $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ . Стокс работает для любого контура в пространстве и любой натянутой поверхности, включая изогнутые.