📈 Матанализ

Циркуляция

Q: Может ли циркуляция быть ненулевой у поля с нулевой дивергенцией?

Да, запросто: поле $\mathbf{F} = (-y; x; 0)$ имеет $\operatorname{div} \mathbf{F} = 0$, но циркуляция по окружности вокруг оси $Oz$ равна $2\pi R^2$. Дивергенция измеряет источники, циркуляция — вихри: это независимые характеристики поля.

англ. Circulation

Криволинейный интеграл второго рода от векторного поля по замкнутому контуру ∮ F·dr: мера завихрённости поля вдоль петли и работа силы по замкнутому пути.

Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру $C$ — интеграл $\oint_{C} F \cdot d r = \oint_{C} P d x + Q d y + R d z$ . Физический смысл двоякий: для силового поля это работа при обходе петли, для поля скоростей — суммарный «подхвист» вдоль контура. Если циркуляция ненулевая, поле закручивает: в центре вихря она максимальна, вдали гаснет.

Локальную меру завихрённости даёт ротор, и мост между ними — формула Стокса: циркуляция по контуру равна потоку ротора через натянутую поверхность. Отсюда главный вывод теории: в потенциальном поле циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю — работа не зависит от пути, «вечный двигатель» невозможен. Направление обхода согласовано с ориентацией поверхности правилом правой руки; смена направления меняет знак циркуляции.

C = \oint_{C} F \cdot d r; \oint_{C} F \cdot d r = \iint_{S} (rot F) \cdot n d S

определение циркуляции и её связь с ротором

Частые вопросы

Может ли циркуляция быть ненулевой у поля с нулевой дивергенцией?

Да, запросто: поле $F = (- y; x; 0)$ имеет $div F = 0$ , но циркуляция по окружности вокруг оси $O z$ равна $2 π R^{2}$ . Дивергенция измеряет источники, циркуляция — вихри: это независимые характеристики поля.

Зачем физикам циркуляция?

Это язык законов сохранения: теорема Кельвина о сохранении циркуляции скорости в идеальной жидкости, закон электромагнитной индукции $\oint E d r = - \frac{d Φ}{d t}$ , условие безвихревости электростатического поля. Циркуляция превращает интегральные законы в дифференциальные уравнения.