📈 Матанализ

Потенциальное поле

англ. Potential (conservative) field

Векторное поле, равное градиенту скалярного потенциала: rot F = 0, циркуляция по замкнутому контуру нулевая, работа не зависит от пути.

Потенциальное (консервативное) поле — поле, которое является градиентом скалярной функции: $F = grad u$ ; функция $u$ называется потенциалом. В физике знак часто переворачивают: $F = - grad φ$ , и потенциал совпадает с потенциальной энергией. Примеры: гравитационное поле, электростатическое поле, поле упругой силы. Не потенциальны поля вихрей — магнитное поле вокруг провода, поле скоростей вращающейся жидкости.

Три эквивалентных признака (в односвязной области, где поле гладко): ротор нулевой $rot F = 0$ ; циркуляция по любому замкнутому контуру нулевая; интеграл между двумя точками не зависит от пути. Последнее даёт технику «короткого пути»: вместо сложной траектории считайте работу по ломаной из осевых отрезков — или сразу по разности потенциалов $u (B) - u (A)$ . Слово «консервативное» отражает физику: вдоль таких полей механическая энергия сохраняется, силовое поле запасает её в потенциале. Связь с интегралами — в статье криволинейный интеграл второго рода.

F = grad u ⟺ rot F = 0 ⟺ \oint_{C} F \cdot d r = 0 \forall C

три эквивалентных критерия потенциальности

Частые вопросы

Почему нулевой ротор не гарантирует потенциальность в неодносвязной области?

Стокс работает на поверхностях, целиком лежащих в области. Если область с «дыркой» (вне оси $O z$ ), контур вокруг дырки не натягивается на поверхность внутри области, и поле $(\frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}}; \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}})$ с нулевым ротором даёт циркуляцию $2 π$ . Потенциал существует лишь локально, глобально — многозначен (угол $arctg$ ).

Что означает потенциальность физически?

Работу поля можно записать как убыль потенциальной энергии, поэтому полная механическая энергия сохраняется. Сила тяжести возвращает мячу всю работу подъёма при падении — потому поле консервативно. Сила трения потенциальной не бывает: работа зависит от длины пути и рассеивается в тепло.