📈 Матанализ

Потенцирование

англ. Exponentiation (de-logarithmizing)

Обратная логарифмированию операция: из равенства логарифмов log_a A = log_a B восстановить равенство A = B — с обязательной проверкой положительности.

Потенцирование — снятие логарифмов: если $lo g_{a} A = lo g_{a} B$ при одном допустимом основании, то $A = B$ . Приём завершает решение: уравнение $lo g_{2} (x - 1) + lo g_{2} (x + 1) = 3$ после свёртки суммы даёт $lo g_{2} (x^{2} - 1) = 3$ , потенцирование — $x^{2} - 1 = 8$ , и кандидаты $x = \pm 3$ . Ключевой момент: потенцирование расширяет множество кандидатов, ведь из равенства логарифмов следует равенство аргументов, но не наоборот для неопределённых логарифмов.

Поэтому после потенцирования обязателен отбор по ОДЗ исходного уравнения: минус три не проходит условия $x - 1 > 0$ и $x + 1 > 0$ — посторонний корень, ответ $x = 3$ . Числовой контроль: $lo g_{2} 2 + lo g_{2} 4 = 1 + 2 = 3$ — верно. Название операции историческое: «потенция» — степень, то есть возведение основания в обе части. Пошаговый пример с графиком и отбором показывает решатель логарифмических уравнений в режиме суммы логарифмов; теория отбора — на странице посторонний корень.

lo g_{a} A = lo g_{a} B ⟹ A = B (a > 0, a \neq = 1)

одно основание и определённые логарифмы — аргументы равны; ОДЗ проверяется отдельно

Частые вопросы

Почему потенцирование добавляет лишние корни, а не теряет их?

Равенство логарифмов — более сильное условие, чем равенство аргументов: во втором не требуется существование логарифмов. Убирая логарифмы, вы расширяете множество кандидатов на все решения алгебраического уравнения, включая точки вне ОДЗ. Потерять корень потенцирование не может — может только добавить; поэтому отбор, а не поиск недостающих.

Можно ли потенцировать, если основания логарифмов разные?

Сначала приведите к одному основанию по формуле перехода. Например, $lo g_{2} x = lo g_{8} 27$ превращается в $lo g_{2} x = \frac{l o g _{2} 27}{3}$ , то есть $lo g_{2} x = lo g_{2} 3$ . После этого потенцирование честно даёт $x = 3$ . Потенцировать разносновные логарифмы напрямую — типичная ошибка.