📈 Матанализ

Посторонний корень

Q: Почему возведение в квадрат добавляет корни?

Квадрат стирает знак: $A^2 = B^2$ означает $A = \pm B$, а исходное уравнение требовало только $A = B$. Уравнение $\sqrt{x} = -3$ корней не имеет вовсе, а его квадрат $x = 9$ — имеет. Поэтому после возведения в чётную степень каждый кандидат проверяется: подстановкой в исходное или сравнением знаков обеих частей до возведения.

англ. Extraneous root

Кандидат, полученный при решении, но не подходящий исходному уравнению: появляется при возведении в квадрат, потенцировании и свёртке логарифмов.

Посторонний корень — кандидат, который выдала алгебра, но который не удовлетворяет исходному уравнению. Он не ошибка вычислений, а цена неравносильного преобразования. Три главных источника: возведение в чётную степень (из $x + 2 = - 1$ после возведения получается $x = - 1$ , но корень из отрицательного числа не бывает минус единицей); потенцирование логарифмов; свёртка суммы логарифмов в логарифм произведения. В классическом примере $lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 6) = 4$ кандидаты $8$ и $- 2$ ; минус два даёт положительное произведение $(- 2) (- 8) = 16$ , но исходные логарифмы в этой точке не существуют.

Дисциплина против посторонних корней — двухступенчатая. Первая ступень: выписать ОДЗ исходного уравнения до преобразований и после решения отбросить кандидатов вне неё. Вторая: проверка подстановкой в исходное уравнение — ловит и то, что ОДЗ не видит, и арифметические промахи. Проверка стоит одну строку: $lo g_{2} 8 + lo g_{2} 2 = 3 + 1 = 4$ — верно. Оба механизма реализованы в решателе логарифмических уравнений; теория областей — в терминах ОДЗ уравнения и равносильных преобразований.

(x + 2)^{2} = (- 1)^{2} \Rightarrow x = - 1 — посторонний; lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 6) = 4 \Rightarrow x = - 2 — посторонний

два типовых сценария рождения посторонних корней

Частые вопросы

Почему возведение в квадрат добавляет корни?

Квадрат стирает знак: $A^{2} = B^{2}$ означает $A = \pm B$ , а исходное уравнение требовало только $A = B$ . Уравнение $x = - 3$ корней не имеет вовсе, а его квадрат $x = 9$ — имеет. Поэтому после возведения в чётную степень каждый кандидат проверяется: подстановкой в исходное или сравнением знаков обеих частей до возведения.

Может ли проверка подстановкой заменить ОДЗ?

По результату — да: подстановка в исходное уравнение отсеивает всё, включая кандидатов вне области определения. Но ОДЗ дешевле: одно условие отсекает целый класс кандидатов сразу, без вычислений. Рабочий стандарт — ОДЗ для отбора, подстановка для контроля одной строки на финального корня: так ловится и лишнее, и арифметика.