📈 Матанализ

ОДЗ уравнения

англ. Domain of admissible values

Область допустимых значений — множество x, при которых обе части уравнения определены; выписывается до преобразований и служит критерием отбора корней.

ОДЗ уравнения — множество значений переменной, при которых определены все входящие выражения: знаменатели не ноль, корни чётной степени над неотрицательными, аргументы логарифмов положительны, основания логарифмов и степеней корректны, тангенс не на своей асимптоте. Правило работы жёсткое: ОДЗ выписывается до любых преобразований, по исходному уравнению — потому что преобразования её меняют, и критерием отбора может служить только исходная область.

Пример дисциплины: в уравнении $lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 6) = 4$ условия $x > 0$ и $x > 6$ вместе дают ОДЗ $x > 6$ — более сильное поглощает слабое. Алгебра выдаёт кандидатов $8$ и $- 2$ ; отбор по ОДЗ оставляет восьмёрку. Если же ОДЗ выписать после свёртки — получится широкое «произведение положительно», и минус двойка пройдёт незаконно. В уравнениях с заменой ОДЗ двусторонняя: пишется до замены, проверяется после возврата — схема показана на странице замена t = log x. Общая теория областей — в термине область определения функции.

lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 6) : x > 0 \land x > 6 \Rightarrow ОДЗ x > 6

система условий сокращается до самого сильного

Частые вопросы

ОДЗ — это ограничение или подсказка?

И то и другое. Ограничение — без отбора по ОДЗ в ответ попадают посторонние корни. Подсказка — ОДЗ иногда сразу решает уравнение: в $lo g_{2} (x - 8) + lo g_{2} (x - 6) = lo g_{2} (x - 10)$ условия дают $x > 8$ , и если после алгебры кандидат единственный и вне области, ответ «решений нет» готов без всякой проверки.

Что делать с ОДЗ при замене переменной?

Две точки контроля. До замены выписываете ОДЗ исходного уравнения по старой переменной. После возврата из замены проверяете каждого кандидата по этой ОДЗ. Промежуточная переменная (скажем, $t = lo g x$ ) своих ограничений про положительность $x$ не помнит — квадратное уравнение по $t$ выдаёт кандидатов, из которых не все превращаются в легальные корни.