📈 Матанализ

Равносильные преобразования уравнения

Q: Почему возведение в квадрат не равносильно?

Из $A = B$ следует $A^2 = B^2$, но обратное не верно: равенство квадратов означает $|A| = |B|$, то есть $A = \pm B$. Уравнение $x = 2$ после возведения даёт $x^2 = 4$ с корнями $\pm 2$ — минус двойка лишний. Компенсация: переходить к совокупности $A = \pm B$ с проверкой знака или проверять кандидатов подстановкой в исходное уравнение.

англ. Equivalent transformations of equations

Преобразования, не меняющие множество корней: прибавление числа к обеим частям, умножение на ненулевое число, тождественные замены — основа честного решения.

Два уравнения равносильны, если множества их корней совпадают. Равносильные преобразования — те, что сохраняют это множество: прибавление одного числа к обеим частям, умножение обеих частей на ненулевое число, перенос слагаемых со сменой знака, замена выражения тождественно равным в пределах ОДЗ. Они безопасны: решение можно вести, не оглядываясь на потерю или добавление корней. Проверка: $3 x - 1 = 8$ и $3 x = 9$ равносильны — прибавили единицу; корень $x = 3$ один и тот же.

Опасные преобразования меняют множество корней, и их список стоит помнить: умножение на выражение с переменной добавляет корни нулей знаменателя (безопасна замена на совокупность с проверкой $g (x) \neq = 0$ ); возведение в чётную степень добавляет корни с обратным знаком; деление на выражение с переменной теряет корни; свёртка суммы логарифмов расширяет ОДЗ; извлечение корня из обеих частей теряет отрицательную ветку. Каждое из них допустимо — но с обязательной компенсацией: проверкой, отбором или совокупностью. Примеры последствий — в терминах посторонний корень и ОДЗ уравнения; сводка свойств — в шпаргалке эквивалентностей.

f = g \Leftrightarrow f + c = g + c; f = g \Leftrightarrow c f = c g (c \neq = 0); lo g_{a} u + lo g_{a} v = lo g_{a} uv — НЕ равносильно

два безопасных преобразования и одно опасное — с расширяющейся ОДЗ

Частые вопросы

Почему возведение в квадрат не равносильно?

Из $A = B$ следует $A^{2} = B^{2}$ , но обратное не верно: равенство квадратов означает $∣ A ∣ = ∣ B ∣$ , то есть $A = \pm B$ . Уравнение $x = 2$ после возведения даёт $x^{2} = 4$ с корнями $\pm 2$ — минус двойка лишний. Компенсация: переходить к совокупности $A = \pm B$ с проверкой знака или проверять кандидатов подстановкой в исходное уравнение.

Когда можно сокращать на выражение с переменной?

Когда выражение гарантированно не ноль на всей области — например, на $x^{2} + 1$ : оно положительно всегда, и сокращение $\frac{( x - 1 ) ( x ^{2} + 1 )}{x ^{2} + 1} = 0$ безопасно. Для выражения с нулями, скажем $x$ , сокращение теряет корень $x = 0$ ; правильная замена — разложение на множители $x (x - 1) = 0$ с двумя сериями ответа.

пошагово

Проверить преобразования на решателе

Решатель выполняет только равносильные шаги и честно отмечает строгие и нестрогие случаи — сверьте свой ход с его.

Открыть решатель