Неравенства онлайн — решение по шагам
Неравенство — это требование к знаку выражения: где парабола выше нуля, где прямая ниже. Введите коэффициенты и знак — решатель найдёт границы, построит схему знаков метода интервалов, нарисует числовую прямую с выколотыми и закрашенными точками и объяснит, почему ответ именно такой.
Решатель неравенств
Выберите тип неравенства — линейное или квадратное — и знак: строгое или нестрогое. Решатель разбирает все ветки: два корня, касание, случай без корней, вырождение в линейное. Каждое решение проверяется контрольной точкой.
Неравенство: x² − x − 6 > 0. Дроби пишите через точку или запятую. При a = 0 квадратное неравенство превращается в линейное — решатель учтёт это сам.
Алгоритм решения методом интервалов
1. Приведите неравенство к стандартному виду
Всё перенесите влево, справа оставьте ноль, приведите подобные. Работать с выражением ax² + bx + c и знаком сильно проще, чем с разъехавшимися частями.
2. Найдите корни соответствующего уравнения
Приравняйте выражение к нулю: для линейного — одно деление, для квадратного — дискриминант. Корни — это точки, где знак меняется; они делят ось на интервалы.
3. Постройте схему знаков
Подставьте по одной точке из каждого интервала и расставьте плюсы и минусы. Для параболы ветвями вверх снаружи корней плюс, между ними минус; ветви вниз меняют картину зеркально.
4. Выберите интервалы под знак неравенства
Для «больше нуля» берите плюсовые промежутки, для «меньше» — минусовые. Строгий знак выкалывает корни из ответа, нестрогий — закрашивает и включает.
5. Запишите ответ и проверьте контрольной точкой
Ответ записывается промежутками с круглыми и квадратными скобками. Одна подстановка из ответа подтверждает решение: знак должен совпасть с требованием.
Разобранный пример: квадратное неравенство
Решим неравенство из заголовка тем же порядком, что и решатель:
Стандартный вид готов: справа ноль, слева квадратный трёхчлен. Знак строгий — корни в ответ будут выколоты.
Дискриминант и корни
Две граничные точки делят ось на три интервала. Ветви параболы направлены вверх, значит снаружи корней трёхчлен положителен, между корнями отрицателен.
Схема знаков
Знаки подтвердились подстановкой: плюс, минус, плюс. Требование — строго больше нуля, берём плюсовые интервалы и выкалываем корни.
Ответ
Проверка: точка четыре из правого промежутка даёт шесть — больше нуля, подходит. Точка ноль из середины даёт минус шесть — не подходит. Граничная точка минус два даёт ноль, а ноль строгому неравенству не разрешён — выколота правильно.
Линейные неравенства: одна граница
Линейное неравенство устроено проще: одна граница, два промежутка. Вся хитрость — в знаке коэффициента при икс:
Коэффициент положителен — делим без переворота: решение уходит вправо, луч от трёх.
Коэффициент отрицателен — деление переворачивает знак: решение уходит влево. Смотрите, как одна и та же граница три дала противоположные направления: знак коэффициента определяет сторону, и решатель проговаривает этот шаг отдельно.
Смена только строгости меняет скобки, но не промежуток: отличается от разобранного примера лишь закрашенными точками:
Таблица случаев для квадратного неравенства
Здесь собраны все картины, которые может нарисовать квадратное неравенство при положительном старшем коэффициенте. Для отрицательного каждая строка читается зеркально.
| Случай | Что с параболой | Ответ для > 0 | Ответ для ≥ 0 |
|---|---|---|---|
| D > 0, два корня | Пересекает ось в двух точках | (−∞; x₁) ∪ (x₂; +∞) | (−∞; x₁] ∪ [x₂; +∞) |
| D = 0, касание | Касается оси в одной точке | Все x, кроме x₀ | Вся прямая |
| D < 0, ветви вверх | Целиком над осью | Вся прямая | Вся прямая |
Для «меньше нуля» ответы инвертируются: два корня дают интервал между ними, касание — пустое множество, парабола над осью — пустое множество. Решатель проговаривает каждый случай словами, поэтому таблицу удобно использовать как шпаргалку для самопроверки.
Особый случай касания стоит запомнить отдельно — он чаще всего портит ответ:
Частые ошибки
- Забыть перевернуть знак при делении на отрицательное число. Минус три икс больше девяти даёт икс меньше минус трёх, а не больше. Проверяется одной контрольной точкой.
- Закрасить корень у строгого неравенства. Знак «больше» запрещает равенство: в корне трёхчлен равен нулю, а ноль требованию не удовлетворяет — точка выколота.
- Написать «решений нет» при касании и нестрогом знаке «больше или равно». Правильный ответ — вся прямая: ноль в точке касания разрешён нестрогим знаком.
- Перепутать направление при отрицательном старшем коэффициенте. Ветви вниз — картинка зеркальная: снаружи корней минус, между ними плюс. Быстрая проверка — точка x = 0, если она не корень.
- Записать объединение промежутков одной скобкой. Два луча — это объединение с знаком ∪, а не один отрезок. Минус и плюс бесконечность всегда с круглыми скобками: у них нет конечной точки, которую можно включить.
Три типа неравенств — глубокие разборы
Каждый тип разобран на отдельной странице: с алгоритмом, примерами, типовыми ошибками и мини-тренажёром. Страницы связаны с этим решателем — из любого разбора можно прогнать свой пример.
Частые вопросы
Чем строгое неравенство отличается от нестрогого при записи ответа?
Строгое (знаки больше и меньше) исключает граничные точки: они рисуются выколотыми кружками, а в ответе идут круглые скобки. Нестрогое (больше или равно, меньше или равно) разрешает равенство: точки закрашиваются, скобки квадратные. Ошибка в одну скобку на экзамене стоит балла, поэтому после решения всегда проверяйте знак исходного неравенства и тип точек на рисунке.
Что делать, если дискриминант квадратного неравенства получился отрицательным?
Корней нет, а значит парабола нигде не пересекает ось x и знак трёхчлена постоянен на всей прямой: при положительном старшем коэффициенте он всюду положителен, при отрицательном всюду отрицателен. Ответ зависит от требования: если знак совпал — решением будет вся числовая прямая, если нет — пустое множество. Считать что-то ещё не нужно: оба случая разбираются одной строкой.
Когда надо переворачивать знак неравенства?
Только при умножении или делении обеих частей на отрицательное число. Перенос слагаемых знак не меняет никогда. В линейном неравенстве минус три икс плюс девять больше нуля деление на минус три переворачивает знак: получается икс меньше трёх, а не больше. Это самая массовая ошибка темы — проверяйте её контрольной точкой.
Как проверить ответ неравенства без пересчёта?
Подставьте одну точку из каждого промежутка и одну граничную. Знак выражения на промежутке должен совпасть с требованием, а граничная точка — либо подходить при нестрогом знаке, либо нет при строгом. Три подстановки занимают полминуты и ловят почти любую ошибку: перевёрнутый знак, потерянную скобку, перепутанный интервал.
Где применяются неравенства кроме школьных примеров?
В нахождении области определения функции, в задачах с параметром, в исследовании функций через производную (промежутки возрастания — это неравенства), в оценках погрешностей. В задании 6 ЕГЭ профильной математики и в ОГЭ неравенства идут отдельными номерами, а внутри других задач прячутся постоянно: любое ограничение на переменную — это и есть неравенство.
Куда дальше
Неравенства — рабочий инструмент половины математики: область определения функции находится неравенством, промежутки возрастания тоже. Разбор как решать неравенства показывает метод целиком, а закрепить его можно на тренажёре неравенств, где задачи генерируются бесконечно и проверяются мгновенно. Корни трёхчлена считаются отдельным решателем квадратных уравнений — если граница не находится в уме, посчитайте её там.