Метод интервалов

Метод интервалов — главный алгоритм решения неравенств: числовую прямую разбивают критическими точками функции (нулями числителя и нулями знаменателя) на промежутки, на каждом промежутке определяют знак, а в ответ выписывают те куски, где знак удовлетворяет неравенству. Метод закрывает линейные, квадратные и дробно-рациональные неравенства, а после раскрытия модулей — и неравенства с модулем. Основа метода — фундаментальный факт анализа: непрерывная функция не может сменить знак, не обратившись в ноль. Значит, между соседними критическими точками знак постоянен, и достаточно проверить его в одной точке.

Интуиция простая: двигаясь слева направо, функция «переключает» знак только в критических точках, между ними знак застывает. Поэтому вместо проверки всех точек прямой нужна короткая таблица: выписать критические точки, взять по одной пробной точке на промежуток, собрать ответ. Для многочлена, разложенного на линейные множители, есть ускорение: справа от самого правого корня всегда плюс, дальше знаки чередуются при переходе через каждый корень нечётной кратности; корень чётной кратности знак не меняет.

Незаменим метод в трёх ситуациях: квадратное неравенство, когда не хочется чертить параболу; дробно-рациональное, где умножать обе части на знаменатель запрещено; система неравенств, где ответы нескольких условий надо пересечь. В матанализе той же таблицей знаков по критическим точкам производной находят интервалы монотонности и классифицируют экстремумы.

Разберём $\frac{(x-1)(x+2)}{x-3}>0$. Критические точки: корни $x=-2$ и $x=1$, полюс $x=3$; все три выколоты — неравенство строгое, а ноль знаменателя запрещён всегда. Пробные точки дают знаки: на $(-\infty ;-2)$ минус, на $(-2;1)$ плюс, на $(1;3)$ минус, на $(3;+\infty )$ плюс. Ответ: $x\in (-2;1)\cup (3;+\infty )$. Контроль в точке $x=0$: дробь $\frac{(-1)\cdot 2}{-3}$ положительна — знак подтверждён.

Полный алгоритм с восемью шагами — в разборе как решать неравенства, набить руку — в тренажёре неравенств. Теоретический фундамент — урок непрерывность и разрывы; корни трёхчлена — термин квадратное уравнение; та же техника для производной — разбор как исследовать функцию и урок исследование функций.