Решатель · НеравенстваВсе методы решателяОбновлено 2026-10-06

Метод интервалов: схема знаков

Метод интервалов как универсальный инструмент: нули функции, расстановка знаков, чередование. Работает для произведения и дроби, не только для параболы. Разобранный пример (x+1)(x−2)(x−5) > 0.

Пример, разобранный на этой странице

(x + 1) (x - 2) (x - 5) > 0

Ответ: $x \in (- 1; 2) \cup (5; + \infty)$

Решить своё задание в решателе Алгоритм из 4 шагов

Метод интервалов — обобщение схемы знаков на выражения любой сложности: произведение нескольких скобок, дробь с многочленами, выражение с корнем. Для квадратного неравенства он совпадает с параболой, но его сила в другом: метод одинаково работает и для пятой степени, и для дроби. Свой пример прогоните через решатель неравенств — режим «Квадратное» закрывает базовый случай, а здесь разберём сам принцип.

Идея метода одной строкой#

нули f : x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n} \Rightarrow знак f постоянен на каждом интервале

непрерывная функция меняет знак только при переходе через нуль

Непрерывная функция не может поменять знак, не пройдя через ноль. Поэтому нули функции (и точки разрыва, если это дробь) разбивают ось на интервалы, на каждом из которых знак постоянен. Достаточно проверить одну точку интервала — и знак известен для всего интервала. Метод интервалов — это формализация этого наблюдения.

Алгоритм: четыре шага#

Приведите неравенство к виду $f (x) □ 0$ , где $f$ — произведение или дробь с разложенным числителем и знаменателем.
Отметьте на оси все нули числителя и нули знаменателя. Нули знаменателя всегда выколоты — в них $f$ не определена.
Определите знак $f$ на крайнем правом интервале одной пробной точкой, затем расставьте знаки, продвигаясь влево: при переходе через нуль множителя нечётной кратности знак меняется, чётной — сохраняется.
Выберите интервалы под знак неравенства и запишите ответ с учётом строгости.

Разбираем флагманский пример#

Решаем $(x + 1) (x - 2) (x - 5) > 0$ . Нули: $x = - 1, 2, 5$ — три точки, четыре интервала. Пробная точка крайнего правого интервала: $x = 6$ , все скобки положительны, произведение положительно. Дальше движение влево: через нуль $x = 5$ (кратность один — нечётная) знак меняется на минус; через $x = 2$ снова меняется на плюс; через $x = - 1$ — на минус.

Схема знаков: минус на $(- \infty; - 1)$ , плюс на $(- 1; 2)$ , минус на $(2; 5)$ , плюс на $(5; + \infty)$ . Требование «больше нуля» — берём плюсовые интервалы: $x \in (- 1; 2) \cup (5; + \infty)$ . Знак строгий — все точки выколоты. Проверка: $x = 0$ даёт $(1) (- 2) (- 5) = 10 > 0$ — верно, ноль лежит в ответе.

Для дробного неравенства вроде $\frac{x - 3}{x + 2} \geq 0$ схема та же, но нули знаменателя ( $x = - 2$ ) выколоты всегда, даже при нестрогом знаке: делить на ноль нельзя. Нестрогость закрашивает только нули числителя. Ответ: $x \in (- \infty; - 2) \cup [3; + \infty)$ — обратите внимание, как смешались скобки.

Ещё пример: $x(x-4)^2 \ge 0$

Открывай шаги

Сначала попробуйте сделать шаг сами, потом открывайте и сверяйтесь. За полный проход начисляется XP.

Кратность и чередование знаков#

Кратность нуля	Поведение знака	Пример множителя
Нечётная (1, 3, …)	знак меняется при переходе	$(x - 2)$, $(x-2)^3$
Чётная (2, 4, …)	знак сохраняется	$(x - 2)^2$, $(x-2)^4$
Нуль знаменателя	точка всегда выколота	$\tfrac{1}{x-2}$

Типовые ошибки#

Расставить знаки через один без кратности. Чётная кратность не меняет знак: $(x - 4)^{2}$ даёт плюс с обеих сторон. Проверяйте кратность каждой скобки.
Закрасить нуль знаменателя при нестрогом знаке. Деление на ноль запрещено всегда: $\frac{x - 3}{x + 2} \geq 0$ не разрешает $x = - 2$ .
Работать с неразложенным многочленом. Сначала разложите на множители: $x^{3} - 4 x = x (x - 2) (x + 2)$ . Схема знаков для неразложенной суммы не работает.
Умножать неравенство на знаменатель без оговорок. Знак знаменателя неизвестен — переносите всё в одну сторону и работайте с дробью целиком.

Проверь себя+10 XP

Какой знак имеет выражение $(x - 1) (x - 3)$ на интервале $(1; 3)$ ?

Мини-тренажёр: метод интервалов

Знаю: 0/3

Кликните карточку, чтобы перевернуть. Отмечайте выученное — счётчик в шапке покажет прогресс.

1 / 3

(x + 2) (x - 1) < 0

Частые вопросы

Чем метод интервалов отличается от схемы знаков параболы?

Ничем по сути: для квадратного трёхчлена это одно и то же. Разница в области применения — метод интервалов не опирается на параболу и работает для произведения любого числа множителей и для дробей. Парабола — частный случай с готовой картинкой знаков.

Как быть, если в неравенстве есть корень чётной степени или модуль?

Чётная степень даёт нуль чётной кратности — знак через него сохраняется, точка отмечается по строгости знака неравенства. Модуль раскрывается на случаи: $|x - 1| < 2$ — это двойное неравенство $-1 < x < 3$. После раскрытия работайте обычным методом интервалов на каждом случае.

Где метод интервалов встречается дальше, в вузе?

В исследовании функций: промежутки монотонности находятся по знаку производной той же схемой интервалов. В теории устойчивости и при анализе фазовых портретов знаковые интервалы — базовый инструмент. Навык, поставленный на школьных неравенствах, переносится туда без переделки.

Метод интервалов: схема знаков

Идея метода одной строкой#

Алгоритм: четыре шага#

Разбираем флагманский пример#

Ещё пример: \(x(x-4)^2 \ge 0\)

Кратность и чередование знаков#

Типовые ошибки#

Мини-тренажёр: метод интервалов

Частые вопросы

Ещё пример: \(x(x-4)^2 \ge 0\)

Мини-тренажёр: метод интервалов

Кратность нуля	Поведение знака	Пример множителя
Нечётная (1, 3, …)	знак меняется при переходе	\((x - 2)\), \((x-2)^3\)
Чётная (2, 4, …)	знак сохраняется	\((x - 2)^2\), \((x-2)^4\)
Нуль знаменателя	точка всегда выколота	\(\tfrac{1}{x-2}\)