Квадратные неравенства: ax² + bx + c □ 0

Квадратное неравенство — это вопрос о знаке параболы: где трёхчлен $a{x}^2+bx+c$ выше нуля, а где ниже. В отличие от линейного случая ответ может быть не только лучом, но и отрезком, объединением двух лучей, всей прямой или пустым множеством — всего девять картин. Свой пример прогоните через решатель неравенств — он нарисует и числовую прямую, и график с заливкой решения.

Идея метода одной строкой#

Парабола с ветвями вверх над осью держит плюс, между корнями ныряет под ось и берёт минус, потом снова выныривает в плюс. Ветви вниз — картина зеркальная. Поэтому всё решение сводится к трём действиям: найти корни (дискриминант), вспомнить направление ветвей (знак $a$), выбрать промежутки под знак неравенства.

Алгоритм: пять шагов#

1. 1
   Приведите к стандартному виду: справа ноль, слева трёхчлен, старший коэффициент $a\ne 0$.
2. 2
   Найдите корни: $D=b^2-4ac$, затем $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$.
3. 3
   Определите направление ветвей: $a>0$ — вверх (плюс снаружи, минус внутри), $a<0$ — вниз (наоборот).
4. 4
   Выберите интервалы: для «больше нуля» — плюсовые, для «меньше» — минусовые.
5. 5
   Учтите строгость: строгий знак выкалывает корни, нестрогий закрашивает. Проверьте контрольной точкой.

Разбираем флагманский пример#

Решаем $x^2-x-6>0$. Дискриминант: $D=1+24=25$, корень пять. Корни: $x=\frac{1\pm 5}{2}$, то есть $x_1=-2$ и $x_2=3$. Ветви вверх ($a=1>0$) — снаружи корней плюс, между ними минус. Требование строгое «больше нуля»: берём оба внешних интервала, корни выкалываем.

Ответ: $x\in (-\infty ;-2)\cup (3;+\infty )$. Проверка: точка $x=4$ даёт $6>0$ — подходит; точка $x=0$ даёт $-6$ — не подходит; точка $x=-3$ даёт $6>0$ — подходит. Обратите внимание на объединение: два луча нельзя записать одним отрезком, между корнями решение прерывается. Если бы знак был нестрогий, $x^2-x-6\ge 0$, ответ отличался бы только скобками: $(-\infty ;-2]\cup [3;+\infty )$.

Все случаи квадратного неравенства#

При $a<0$ каждая строка читается зеркально: там, где был плюс, станет минус. Отдельно отметьте строку касания: $(x-x_0{)}^2>0$ даёт всю прямую без одной точки, а $(x-x_0{)}^2\ge 0$ — всю прямую целиком. Именно эта пара чаще всего портит ответы на контрольных.

Типовые ошибки#

• Закрасить корни у строгого знака. В корне трёхчлен равен нулю, а ноль строгому неравенству не разрешён — точки обязаны быть выколоты.
• Перепутать сторону при отрицательном $a$. Ветви вниз меняют знаки: снаружи минус, внутри плюс. Быстрая проверка — подставить $x=0$, если он не корень.
• Записать касание как «решений нет» при нестрогом знаке. $(x-2{)}^2\ge 0$ верно всегда — ноль в точке касания разрешён.
• Потерять объединение. Два внешних интервала — это $\cup$, а не запятая и не один отрезок.
• Ошибиться в дискриминанте. $D=b^2-4ac$: четыре умножить на $a$ и на $c$, оба минуса у $c$ тоже входят. При $c<0$ выражение $-4ac$ положительно.