Линейные неравенства: ax + b > 0

Линейное неравенство — первый контакт с темой и одновременно самый частый инструмент внутри других задач: область определения, оценка параметра, ограничение в текстовой задаче. Шаблон один: $ax+b\square 0$, где на месте квадратика стоит один из четырёх знаков. Свой пример прогоните через решатель неравенств в режиме «Линейное» — и сверьте шаги с разбором.

Идея метода одной строкой#

Линейная функция $f(x)=ax+b$ монотонна: растёт при $a>0$ и убывает при $a<0$. У неё ровно одна точка, где она равна нулю: $x_0=-\frac{b}{a}$. Слева от неё функция держит один знак, справа — противоположный. Поэтому решение неравенства — всегда луч: либо вправо от границы, либо влево. Направление определяется знаком коэффициента $a$, а включается ли граница — строгостью знака.

Алгоритм: три шага#

1. 1
   Перенесите $b$ вправо: $ax\square -b$. Перенос знак не меняет никогда — это самая безопасная операция.
2. 2
   Разделите на $a$. Если $a>0$ — знак сохраняется, если $a<0$ — переворачивается. Проговорите этот шаг вслух: ошибка живёт именно здесь.
3. 3
   Запишите ответ лучом: $(x_0;+\infty )$ или $(-\infty ;x_0)$, скобка у границы круглая для строгого знака и квадратная для нестрогого. Проверьте контрольной точкой.

Разбираем флагманский пример#

Решаем $-3x+9>0$. Перенос: $-3x>-9$. Коэффициент $a=-3$ отрицательный — при делении на него знак переворачивается: $x<3$. Ответ: $x\in (-\infty ;3)$, граница выколота, потому что знак строгий. Проверка контрольной точкой: $x=0$ лежит в ответе, подставляем: $-3\cdot 0+9=9>0$ — верно. Точка $x=5$ не из ответа: $-15+9=-6$, знак не тот — всё сходится.

Сравните с $2x-6>0$: перенос даёт $2x>6$, деление на положительную двойку сохраняет знак, $x>3$. Обратите внимание, как одна и та же граница три дала противоположные стороны решения — всё решил знак коэффициента. Третий случай — нестрогий знак: $2x-6\ge 0$ даёт $x\ge 3$, промежуток $[3;+\infty )$ с закрашенной границей. Само множество решений не изменилось — изменилась только одна точка.

Все случаи линейного неравенства#

Типовые ошибки#

• Не перевернуть знак при делении на отрицательное число. $-3x>9$ — это $x<-3$, а не $x>-3$. Контрольная точка $x=-4$: $12>9$ — верно, значит решение влево.
• Перевернуть знак при переносе слагаемого. $2x-6>0$ после переноса даёт $2x>6$ — знак остался. Переворот нужен только при умножении и делении.
• Путать круглую и квадратную скобку. Строгий знак — круглая (точка не входит), нестрогий — квадратная (входит). На рисунке это выколотая или закрашенная точка.
• Писать «решений нет» вместо $\mathbb{R}$ при вырожденном случае. Если $0\cdot x+3>0$, утверждение истинно всегда — подходит любое число.