Асимптота

Асимптота — прямая, к которой график прижимается всё теснее, так и не слившись с ней. Поезд, выходящий на длинное прямое шоссе, — хорошая картинка: с высоты птичьего полёта траектория и дорога неразличимы, хотя полного совпадения нет. График $y=1/x$ прижимается к оси $x$ справа и к оси $y$ сверху — у этой крошечной функции сразу две асимптоты.

Это определение наклонной асимптоты $y=kx+b$: расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к нулю. Вертикальная асимптота живёт в точке разрыва: если $f(x)\to \pm \infty$ при $x\to a$, прямая $x=a$ — асимптота (классика: $x=0$ у логарифма, $x=1$ у $\frac{1}{x-1}$). Горизонтальная — частный случай наклонной с $k=0$: предел $f(x)$ на бесконечности и есть её высота.

Как найти наклонную асимптоту: $k={\lim }_{x\to \infty }\frac{f(x)}{x}$, затем $b={\lim }_{x\to \infty }(f(x)-kx)$. Для $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$: $k=1$, $b=\lim (x+\frac{1}{x}-x)=0$ — асимптота $y=x$. Полная процедура с проверкой обеих сторон расписана в уроке об исследовании функций; подтянуть сами пределы поможет страница предел и тренажёр пределов.

Разберём поиск по шагам для $f(x)=\frac{2x^2-3}{x-1}$. Вертикальная асимптота напрашивается: знаменатель обнуляется при $x=1$, пределы слева и справа бесконечны. Наклонная ищется делением числителя на знаменатель столбиком: $f(x)=2x+2+\frac{1}{x-1}$. Остаток $\frac{1}{x-1}$ исчезает на бесконечности — асимптота $y=2x+2$. Выделение целой части честнее, чем «отбросить лишнее»: оно показывает и прямую, и поправку к ней.

У параболы и прямой асимптот нет — их графики либо замкнуты, либо уходят быстрее любой прямой. Зато экспонента $y=e^x$ показывает ещё один сюжет: асимптота бывает односторонней. Проверяйте оба направления отдельно — при $x\to +\infty$ и $x\to -\infty$ — потому что график вправо и влево живёт по-разному. В исследовании функций асимптоты стоят в один ряд с экстремумами: это скелет, по которому строится эскиз графика без единой таблицы значений.