Вертикальная асимптота

Вертикальная асимптота — вертикальная прямая $x=a$, возле которой функция теряет голову: хотя бы один односторонний предел бесконечен, ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty$ или ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty$. Кандидаты ищутся не по всей оси, а в двух местах: точки, где знаменатель обнуляется, и границы области определения вроде нуля у $\ln x$. Формальная основа — классификация разрывов из урока непрерывность и разрывы, рабочий инструмент — предел.

Примеры расставляют роли знаков. У $f(x)=\frac{1}{x-2}$ слева от двойки предел $-\infty$, справа $+\infty$ — две ветви обнимают прямую $x=2$ с разных сторон. У $f(x)=\frac{1}{(x-2{)}^2}$ обе стороны уходят в $+\infty$ — ветви смотрят вверх. У $f(x)=\ln x$ асимптота $x=0$ односторонняя: справа от нуля функция просто не определена. Тонкость: $f(x)=e^{1/x}$ в нуле имеет вертикальную асимптоту лишь при $x\to 0^{+}$ (предел $+\infty$), а слева предел равен нулю — разрыв второго рода есть, картинка асимметрична. Односторонние пределы тренируются в тренажёре пределов.

Не всякий разрыв рождает асимптоту: у $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ в единице разрыв устранимый — после сокращения функция ведёт себя как $x+1$, взлёта нет, прямая $x=1$ остаётся пустой. Правило: сначала сократить дробь и вычистить выколотые точки, потом проверять односторонние пределы там, где что-то осталось. В полном исследовании вертикальные асимптоты ищут первыми — они задают каркас графика; затем достраивают поведение на бесконечности: см. термины асимптота и точка перегиба.