📈 Матанализ

Наклонная асимптота

Q: Когда наклонной асимптоты нет?

Если предел $\lim_{x \to \infty} f(x)/x$ бесконечен или не существует — прямой-спутницы на этом конце оси нет: функция растёт быстрее любой линейной, как $x^2$ или $x \ln x$. Для дробно-рациональной функции наклонная асимптота появляется лишь когда степень числителя ровно на единицу выше степени знаменателя; при разнице в две степени график уходит по параболе, а не по прямой.

англ. Oblique asymptote

Прямая y = kx + b, к которой график прижимается при x → ±∞; коэффициенты ищутся двумя пределами. При k = 0 прямая превращается в горизонтальную асимптоту.

Наклонная асимптота — прямая $y = k x + b$ , к которой график неограниченно прижимается при $x \to + \infty$ или $x \to - \infty$ : вертикальное расстояние $f (x) - (k x + b)$ стремится к нулю. Коэффициенты вычисляются двумя пределами: $k = lim_{x \to \infty} \frac{f ( x )}{x}$ и $b = lim_{x \to \infty} (f (x) - k x)$ . Если бы предел $b$ не существовал при верном $k$ , прямая-спутница тоже не собралась бы. При $k = 0$ та же формула даёт горизонтальную асимптоту, так что горизонтальный случай — частный. Общий контекст всех асимптот — в терминах асимптота, техника пределов — в предел.

Пример с числами: $f (x) = \frac{x ^{2} + 2 x}{x - 1}$ . Первый предел: $k = lim \frac{x ^{2} + 2 x}{x ^{2} - x} = 1$ . Второй: $b = lim (\frac{x ^{2} + 2 x}{x - 1} - x) = lim \frac{3 x}{x - 1} = 3$ . Асимптота $y = x + 3$ . Проверка в точке $x = 100$ : $f (100) = \frac{10200}{99} \approx 103, 03$ , прямая даёт $103$ — расхождение в три сотых и убывает с ростом $x$ . Дробно-рациональные функции решаются ещё быстрее: наклонная асимптота — целая часть от деления числителя на знаменатель, остаток уходит в исчезающую добавку.

Два конца бесконечности живут независимо: пределы при $x \to + \infty$ и $x \to - \infty$ считаются по отдельности, и ответы могут различаться. Возьмём $f (x) = x + arctg x$ : наклон $k = 1$ с обеих сторон, но $b = lim arctg x$ равен $π /2$ справа и $- π /2$ слева — график прижимается к двум разным прямым $y = x \pm π /2$ . Асимптоты — обязательный пункт полного исследования: порядок действий — в уроке исследование функции, готовая схема — в разборе как решать исследование функции.

k = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x}, b = x \to \pm \infty lim (f (x) - k x)

коэффициенты наклонной асимптоты; при

k = 0

формула вырождается в горизонтальную асимптоту

y = b

Частые вопросы

Когда наклонной асимптоты нет?

Если предел $lim_{x \to \infty} f (x) / x$ бесконечен или не существует — прямой-спутницы на этом конце оси нет: функция растёт быстрее любой линейной, как $x^{2}$ или $x ln x$ . Для дробно-рациональной функции наклонная асимптота появляется лишь когда степень числителя ровно на единицу выше степени знаменателя; при разнице в две степени график уходит по параболе, а не по прямой.

Могут ли горизонтальная и наклонная асимптоты существовать одновременно?

На одном и том же конце оси — нет: горизонтальная асимптота это наклонная с $k = 0$ , второй прямой там уже не бывает. А вот на разных концах — сколько угодно: $y = x e^{- x}$ справа прижимается к горизонтальной $y = 0$ , а слева убывает быстрее любой прямой, асимптоты нет вовсе. Примеры асимметричных графиков — в уроке исследование функции.

пошагово

Решатель пределов

Посчитать k и b наклонной асимптоты

Решатель вычислит пределы из формул k = lim f(x)/x и b = lim (f(x) − kx) и соберёт уравнение прямой.

Открыть решатель