📈 Матанализ

Криволинейный интеграл второго рода

англ. Line integral of the second kind

Интеграл от скалярного произведения векторного поля на касательную кривой: ∫_C F·dr; физически — работа силового поля при движении вдоль пути.

Криволинейный интеграл второго рода интегрирует проекцию поля на касательную кривой: $\int_{C} F \cdot d r = \int_{C} P d x + Q d y + R d z$ . Физическое содержание — работа: сила $F$ , перемещающая точку вдоль траектории $C$ , совершает именно такой интеграл. Интеграл первого рода считает «вес кривой» и направления не видит; второй род ориентирован — при смене направления обхода меняет знак.

Вычисление — через параметризацию: подставить $x (t), y (t), z (t)$ , $t \in [α; β]$ , и проинтегрировать $P x^{'} + Q y^{'} + R z^{'}$ по $t$ . Ключевой вопрос теории — зависимость от пути: если поле потенциально ( $rot F = 0$ в односвязной области), интеграл определяется только концами, а по замкнутому контуру равен нулю. Критерий сводится к существованию потенциала $u$ с $F = grad u$ ; тогда ответ считается в одну строку: $u (B) - u (A)$ . Родственная тройка понятий — поток, циркуляция и формула Стокса.

\int_{C} F \cdot d r = \int_{α}^{β} (P x^{'} (t) + Q y^{'} (t) + R z^{'} (t)) d t; rot F = 0 \Rightarrow \int_{A B} = u (B) - u (A)

вычисление через параметр и потенциальный случай

Проверь себя+15 XP

Поле $F = grad u$ , где $u = x^{2} y$ . Чему равен интеграл от $A (0; 0)$ до $B (1; 2)$ по любому пути?

Частые вопросы

Почему при смене направления обхода интеграл меняет знак?

Касательный вектор разворачивается, скалярное произведение $F \cdot d r$ меняет знак в каждой точке. Работа силы «туда» и «обратно» противоположна — это то же физическое соображение, записанное формально: $\int_{A B} = - \int_{B A}$ .

Как проверить, что поле потенциально?

Посчитать ротор и убедиться, что он нулевой во всей односвязной области, а затем найти потенциал интегрированием по ломаной из параллельных осям отрезков. В неодносвязной области нулевой ротор недостаточен — классика: поле $(\frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}}; \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}})$ имеет ненулевую циркуляцию вокруг начала координат.