📈 Матанализ

Поток векторного поля

англ. Flux of a vector field

Поверхностный интеграл второго рода ∬ F·n dS — количество векторной величины, протекающее через поверхность в единицу времени; связан с дивергенцией формулой Гаусса–Остроградского.

Поток векторного поля через поверхность $S$ — интеграл $Π = \iint_{S} F \cdot n d S$ , где $n$ — единичная нормаль. Наглядно: если $F$ — скорость воды, поток равен объёму воды, протекающему через натянутую мембрану за секунду. Вклад каждой площадки даёт скалярное произведение — только компонента поля вдоль нормали «протекает», касательная течёт вдоль мембраны и ничего не переносит.

Знак зависит от выбора стороны поверхности (направления нормали): сменили сторону — сменили знак. Для замкнутой поверхности нормаль берут наружу, и поток измеряет суммарную мощность источников внутри: теорема Гаусса–Остроградского $\oint F \cdot n d S = ∭_{V} div F d V$ превращает поверхностный интеграл в объёмный. Для полей без источников (соленоидальных) поток через любую замкнутую поверхность нулевой. Вычисление сводится к поверхностному интегралу второго рода с явной нормалью.

Π = \iint_{S} F \cdot n d S; \oint_{\partial V} F \cdot n d S = ∭_{V} div F d V

определение потока и теорема Гаусса–Остроградского

Проверь себя+15 XP

Поле $F = (x; y; z)$ . Чему равен поток через единичную сферу (наружу)?

Частые вопросы

Почему для потока важна именно нормальная компонента?

Поток — количество переносимого через поверхность, а переносит только движение поперёк неё. Компонента вдоль поверхности скользит по мембране и не пересекает её. Математически это скалярное произведение $F \cdot n = ∣ F ∣ cos α$ — проекция поля на нормаль.

Как выбирать нормаль незамкнутой поверхности?

По условию задачи: «наружу», «вверх», «от источника». Если сторона не указана, ответ определён с точностью до знака — и это стоит явно оговорить. В замкнутых поверхностях конвенция едина: внешняя нормаль.