📈 Матанализ

Соленоидальное поле

Q: Может ли поле быть одновременно потенциальным и соленоидальным?

Да — гармоническое поле: $\operatorname{rot} = 0$ и $\operatorname{div} = 0$ одновременно, как у электрического поля между зарядами вне источников. Тогда потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа $\Delta u = 0$, и теория переезжает в гармонические функции — ядро уравнений математической физики.

англ. Solenoidal (divergence-free) field

Векторное поле с нулевой дивергенцией: div F = 0; линии поля замыкаются или уходят на бесконечность, поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Соленоидальное поле — поле без источников и стоков: $div F = 0$ во всей области. Физическая картинка — несжимаемая жидкость: сколько втекает в любой объём, столько и вытекает, поэтому линии поля не рождаются и не умирают внутри — они замыкаются, уходят на бесконечность или упираются в границу области. Классические примеры: магнитное поле $B$ (уравнение Максвелла $div B = 0$ — отсутствие магнитных зарядов) и поле скоростей несжимаемой жидкости.

Ключевые следствия. Поток через любую замкнутую поверхность нулевой — прямое следствие теоремы Гаусса–Остроградского. Поток через два сечения одной «трубки тока» одинаков — так работают линии магнитной индукции. В односвязной области всякое соленоидальное поле представимо как ротор векторного потенциала: $F = rot A$ — это двойственно потенциальным полям, где всё поле рождается из скаляра (см. потенциальное поле и дивергенция).

div F = 0 ⟺ \oint_{\partial V} F \cdot n d S = 0 \forall V; div F = 0 \Rightarrow F = rot A

критерий, следствие для потоков и векторный потенциал

Частые вопросы

Может ли поле быть одновременно потенциальным и соленоидальным?

Да — гармоническое поле: $rot = 0$ и $div = 0$ одновременно, как у электрического поля между зарядами вне источников. Тогда потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа $Δ u = 0$ , и теория переезжает в гармонические функции — ядро уравнений математической физики.

Почему линии соленоидального поля не могут кончаться в области?

Линия, обрывающаяся внутри, означала бы источник: вокруг её конца можно взять маленькую замкнутую поверхность, через которую поток отличен от нуля, а это противоречит $div = 0$ . Поэтому линии либо замкнуты, либо тянутся к границе или бесконечности.