Дивергенция

Дивергенция (расходимость) векторного поля $\mathbf{F}=(P,Q,R)$ — скалярная функция $\mathrm{div}\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$: сумма трёх частных производных, каждая компонента дифференцируется по своей оси. В каждой точке она отвечает на вопрос «сколько поля рождается в этой точке» — дивергенция есть плотность источника. Где $\mathrm{div}\mathbf{F}>0$, поле вытекает из окрестности (исток), где $<0$ — втекает (сток), где равна нулю — поле несжимаемо: сколько втекает, столько и вытекает, хотя само течение может быть сколь угодно запутанным.

Интуиция — вода в ванной. Вынули пробку: у стока скорость направлена внутрь со всех сторон, дивергенция отрицательна. Открыли кран: от него вода разбегается во все стороны — исток, дивергенция положительна. Озеро без подводных ключей: «втекло — вытекло», дивергенция нулевая. Скалярность — ключевая черта: из вектора получаем число в каждой точке, поэтому дивергенцией удобно мерить распределение источников по пространству: нанесли на карту числа — сразу видно, где поле рождается, а где умирает.

Микропример: поле $\mathbf{F}=(x,y,z)$ — радиальное, растущее от начала координат. Дивергенция: $1+1+1=3$ в каждой точке — однородный источник. Поток из сферы радиуса $R$ по теореме Остроградского–Гаусса: $3\cdot \frac{4}{3}\pi R^3=4\pi R^3$. Прямой подсчёт согласуется: на сфере поле перпендикулярно поверхности и равно по модулю $R$, поток $R\cdot 4\pi R^2=4\pi R^3$ — точно. Контраст: вращательное поле $\mathbf{G}=(-y,x,0)$ даёт $\mathrm{div}\mathbf{G}=0+0+0=0$ — жидкость несжимаема: частицы кружат, но не рождаются и не исчезают.

Поток и плотность зарядов — урок напряжённость и потенциал электростатики, где теорема Гаусса — рабочий инструмент; объёмная сторона интегралов — урок двойные интегралы. Словарь: градиент — родственный оператор из тех же частных производных; криволинейный интеграл — язык потоков и работ. Сводка формул — в шпаргалке по электростатике.