Напряжённость и потенциал: энергия электрического поля

В электричестве у каждой величины есть двойник из механики. Сила — это напряжённость, энергия — это потенциал, а напряжение ведёт себя как перепад высот на горнолыжном склоне: неважно, откуда именно вы стартовали, важна только разница между вершиной и финишем. Этот урок показывает, как две разные характеристики поля — силовая и энергетическая — сцепляются в одну систему.

Работа электрического поля#

Поместим заряд $q$ в поле и позволим ему двигаться. Поле совершает над ним работу — и это ключевая идея всего урока. Для однородного поля, где напряжённость везде одинакова, всё считается по-школьному: работа равна силе на путь, но только если движение вдоль поля.

Здесь $d$ — перемещение, $\alpha$ — угол между вектором $\vec{E}$ и перемещением. Двигаетесь перпендикулярно линиям поля — работа нулевая, потому что $\cos 90^{\circ }=0$. Это не мелочь: из неё следует, что по замкнутому пути поле совершает нулевую работу. Поле электростатики — потенциальное, как гравитационное: круг вернулся, энергия не изменилась.

Для произвольного поля работу считают как интеграл от силы по траектории, но вывод не меняется: работа зависит только от начальной и конечной точек. Именно поэтому для поля можно вводить потенциальную энергию — а через неё и потенциал.

Потенциал: энергия на единицу заряда#

Потенциал $\phi$ в точке поля — это потенциальная энергия $W$, которой обладал бы единичный положительный заряд в этой точке:

Единица измерения — вольт (В), причём $1$ В $=1$ Дж/Кл. Потенциал точечного заряда убывает как $1/r$, а не как $1/r^2$ — запомните этот контраст с напряжённостью, на нём часто ловят на контрольных. Формула алгебраическая: у отрицательного заряда потенциал отрицательный.

Ноль потенциала выбирают условно — по договорённости. Для точечных зарядов ноль ставят на бесконечности: там поле исчезает и энергия взаимодействия обнуляется. Поэтому потенциал Земли или заземлённого корпуса прибора считают нулевым: Земля — огромный резервуар заряда, её потенциал практически не меняется от ваших экспериментов.

Потенциальная энергия двух зарядов#

Прежде чем делить энергию на заряд, посмотрим на неё саму. Энергия взаимодействия пары точечных зарядов — прямая родня закона Кулона, только расстояние без квадрата:

Знаки зарядов здесь работают честно: у одноимённых зарядов $W>0$ — нужно было поработать, чтобы свести отталкивающиеся заряды близко, как сжать пружину. У разноимённых $W<0$ — система «должна» энергию: чтобы разорвать пару, придётся вложить столько же. Формула работает на нулевой отсчёт на бесконечности — отсюда и отрицательность связанных состояний, от молекулы воды до планеты на орбите.

Числовой прогон: заряды $q_1=2$ нКл и $q_2=4$ нКл на расстоянии 6 см. Тогда $W=9\cdot 10^9\cdot 2\cdot 10^{-9}\cdot 4\cdot 10^{-9}/0,06=7,2\cdot 10^{-8}/0,06=1,2\cdot 10^{-6}$ Дж — чуть больше микроджоуля. Микромир живёт на этих масштабах: энергия электрона в атоме — единицы электронвольт, то есть порядка $10^{-19}$ Дж, и именно поэтому атомы устойчивы, а химия работает при комнатной температуре.

Напряжение: разность потенциалов#

На практике важна не абсолютная высота, а перепад. Напряжение $U$ между точками 1 и 2 — это разность потенциалов:

Работа поля при перемещении заряда из точки 1 в точку 2 равна произведению заряда на напряжение между ними. Формула $A=qU$ — рабочая лошадка всей темы: она связывает механику с электричеством без всякой геометрии траектории. Проверим на числах: переносим $q=2$ нКл из точки с ${\phi }_1=200$ В в точку с ${\phi }_2=50$ В. Работа $A=2\cdot 10^{-9}\cdot 150=3\cdot 10^{-7}$ Дж = 0,3 мкДж.

Отсюда же растёт любимая единица физики микромира — электронвольт. Электрон, пролетевший участок с напряжением 1 В, набирает энергию $A=eU=1,6\cdot 10^{-19}$ Дж. Это и есть 1 эВ. Энергия связи в атоме — единицы эВ, в ядре — миллионы. Удобно: числа перестают быть $10^{-19}$-ми.

Связь напряжённости и потенциала#

У поля два лица: силовое ($\vec{E}$) и энергетическое ($\phi$). Связывает их дифференциальная формула — родная сестра связи «высота — крутизна склона»:

Напряжённость равна скорости убывания потенциала с расстоянием, взятой со знаком минус. Если потенциал — это производная от энергии, то напряжённость — производная от потенциала. Математики говорят ещё строже: $\vec{E}=-\mathrm{grad}\phi$ — напряжённость есть градиент потенциала. Знак минус честный: поле тянет положительный заряд в сторону уменьшения потенциала, как камень катится вниз.

В однородном поле производная превращается в простое отношение. Между двумя пластинами с разностью потенциалов $U$ и расстоянием $d$ между ними:

Пример: пластины в 2 см друг от друга, напряжение 100 В. Тогда $E=100/0,02=5000$ В/м. Эта формула даёт ещё одно понимание вольта на метр: вольт на метр — это и есть вольт, делённый на метр. Тавтология? Нет — тождество единиц, и оно постоянно выручает при проверке размерности.

Из той же идеи растут эквипотенциальные поверхности — линии одинакового потенциала. Вдоль них заряд может двигаться без затрат энергии, значит, работа нулевая, значит, поле перпендикулярно им. Эквипотенциали всегда пересекают линии напряжённости под прямым углом. Вокруг точечного заряда эквипотенциали — концентрические сферы: на сфере $r=\text{const}$ потенциал $kq/r$ один и тот же.

Отсюда практическое следствие, которое вы встретите в каждой задаче про проводники: поверхность металла в равновесии — эквипотенциальна. Внутри проводника поле нулевое (иначе электроны двигались бы), значит, потенциал везде одинаков, а весь проводник — одна точка на энергетической карте. На этом стоит клетка Фарадея: под её металлической оболочкой поле атмосферных зарядов не чувствуют ни приборы, ни пассажиры.

На графике видно главное различие: вблизи заряда напряжённость взлетает гораздо резче потенциала. Именно поэтому электростатические поля «рвут» воздух у остриёв — локально напряжение поля огромно. А вот у потенциала обрывов нет: он меняется плавно, непрерывно, без скачков.

Наблюдение из симулятора — лучшая иллюстрация разницы между $\vec{E}$ и $\phi$. В центре между двумя одинаковыми зарядами напряжённость нулевая (векторы компенсируются), а потенциал удвоен (числа складываются). Векторная величина и скалярная величина живут по разным правилам сложения. Если вы перепутаете их на экзамене — потеряете задачу целиком, так что потратьте минуту и проговорите это вслух.

Словарь темы: сверьте определения#

Тема ловит студентов на путанице терминов. Соберите пары в тренажёре ниже, а затем проверьте себя устно: закройте правую колонку рукой и расскажите каждое определение своими словами. Заодно освежите понятие потенциала из первого урока про закон Кулона.