Закон Кулона и электрическое поле: формулы и симулятор

Воздушный шарик, потёртый о волосы, прилипает к потолку и висит там часами. Молния с грохотом пробивает километр воздуха. А между этими событиями — одна и та же физика: неподвижные и движущиеся заряды действуют друг на друга на расстоянии. Никакой верёвки между ними нет, но сила есть. В этом уроке разберёмся, как её посчитать.

Электрический заряд: валюта, которую нельзя разменять#

В природе существуют два рода зарядов, которые условно назвали положительными и отрицательными. Одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые — притягиваются. Это правило стоит запомнить с первой минуты, потому что на нём держится вся электростатика.

Главное свойство заряда — квантование. Заряд в природе существует порциями, и наименьшая порция — элементарный заряд $e=1,6\cdot 10^{-19}$ Кл. Носители электрического заряда:

• электрон: заряд $-e$, масса $m_e=9,1\cdot 10^{-31}$ кг
• протон: заряд $+e$, масса $m_p=1,67\cdot 10^{-27}$ кг — в 1836 раз тяжелее электрона
• ионы: атомы, лишние или недостающие электроны которых дают заряд, кратный $e$

Заряд любого тела — целое число элементарных зарядов: $q=\pm Ne$. Дробных зарядов у свободных тел не бывает. И ещё один закон-фундамент: закон сохранения заряда. В замкнутой системе алгебраическая сумма зарядов постоянна. Заряды не рождаются из ничего и не исчезают в никуда — они только перекочёвывают с тела на тело.

Единица заряда — кулон (Кл). Один кулон — это очень много по меркам электростатики: через нить лампочки за секунду протекает заряд порядка 0,2 Кл, а вот натёртая расчёска несёт на себе доли микрокулона. Держите эту разницу в голове — дальше в задачах будут нанокулоны.

Закон Кулона: сила на расстоянии#

Точечным зарядом называют заряженное тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь — как материальную точку в механике. Для двух точечных неподвижных зарядов в вакууме сила взаимодействия подчиняется закону Кулона:

Расшифруем каждый символ. $F$ — модуль силы в ньютонах. $|q_1|$ и $|q_2|$ — модули зарядов в кулонах. $r$ — расстояние между зарядами в метрах. Коэффициент $k$ — знаменитая девятка:

Величина ${\epsilon }_0$ называется электрической постоянной и встречается по всему курсу электричества. Формально $k$ записывают через неё, но в задачах обычно берут готовую девятку — быстрее и меньше шансов ошибиться.

Всё сказанное — про вакуум. В среде взаимодействие ослабевает: диэлектрическая проницаемость $\epsilon$ встаёт дополнительным множителем в знаменатель, и сила превращается в $F=k|q_1||q_2|/(\epsilon r^2)$. У воздуха $\epsilon approx1,0006$ — почти вакуум, поэтому в задачах воздух не отличают от пустоты. А вот у воды $\epsilon \approx 81$: два иона в растворе притягиваются почти на два порядка слабее, чем в сухом пространстве. Керосин, масло, слюда — у каждого свой коэффициент, и в задачах на конденсаторы мы встретим его снова.

Направление силы — вдоль прямой, соединяющей заряды: отталкивание для одинаковых знаков, притяжение для разных. Прикладывается сила к обоим зарядам сразу, и по третьему закону Ньютона они равны по модулю — лёгкий электрон тянет тяжёлый протон с той же силой, с какой протон тянет его.

Насколько велика сила Кулона? Проверим на крайних случаях. Возьмём два заряда по $1$ Кл на расстоянии $1$ м: сила составит $9\cdot 10^9$ Н — это вес груза почти в миллион тонн. Один кулон на одном метре — гигантская энергия, поэтому в лабораторных задачах вы будете встречать нанокулоны и микрокулоны.

А теперь честная школьная задача: два заряда по $1$ нКл на расстоянии $1$ см. Подставляем: $F=9\cdot 10^9\cdot (10^{-9}{)}^2/(0,01{)}^2$. В числителе $9\cdot 10^9\cdot 10^{-18}=9\cdot 10^{-9}$, в знаменателе $10^{-4}$. Итого $9\cdot 10^{-5}$ Н — десятые доли миллиньюттона, вес пылинки. Пройдите решение по шагам:

Электрическое поле: как заряды «чувствуют» друг друга#

Долго физиков беспокоил вопрос: как один заряд узнаёт, что рядом появился другой? Механика Ньютона молча предполагала мгновенное дальнодействие. Фарадей предложил другую картину: каждый заряд создаёт вокруг себя электрическое поле — особое состояние пространства. Второй заряд взаимодействует не с первым напрямую, а с полем в точке, где он находится. Убрали заряд — поле изменилось, но мгновенно оно меняться не может: возмущение поля распространяется со скоростью света.

Чтобы исследовать поле, вводят пробный заряд — маленький положительный заряд $q_0$, который сам картину не искажает. Силу, действующую на него, делят на величину заряда и получают напряжённость — силовую характеристику поля:

Напряжённость — вектор: он направлен туда же, куда сила, действующая на положительный пробный заряд. Единица измерения — вольт на метр (В/м); иногда пишут ньютон на кулон — это одна и та же единица. Для точечного заряда поле убывает как $1/r^2$: отойдёте вдвое дальше — поле вчетверо слабее. К этой формуле мы вернёмся на уроке про напряжённость и потенциал, где добавится энергетический взгляд.

Линии поля: карта вместо стрелочек

Стрелочки рисовать неудобно — их слишком много. Поэтому поле изображают линиями напряжённости: кривыми, касательная к которым в каждой точке совпадает с направлением $\vec{E}$. Правил чтения этой карты всего три:

• линии выходят из положительных зарядов и входят в отрицательные (или уходят на бесконечность)
• густота линий пропорциональна модулю напряжённости: где плотнее — там поле сильнее
• линии никогда не пересекаются: в одной точке у вектора не может быть двух направлений

Проверьте первую картинку в симуляторе: между $+2$ и $-2$ линии сгущаются — там поле сильнее всего. Если сблизите заряды до касания, увидите характерный «мостик» притяжения. А если поставите рядом два одинаковых заряда, между ними появится нулевая точка, где поля гасят друг друга.

Принцип суперпозиции: поле складывается векторно#

Что делать, если зарядов много? Ответ даёт принцип суперпозиции: напряжённость поля системы зарядов равна векторной сумме напряжённостей каждого заряда в отдельности, как будто остальных нет. Никаких поправок и взаимных влияний — просто векторное сложение.

Мини-пример на числа. Заряды $q_1=2$ нКл и $q_2=-2$ нКл стоят на расстоянии $4$ см друг от друга; ищем поле в середине, на расстоянии $2$ см от каждого. $E_1=9\cdot 10^9\cdot 2\cdot 10^{-9}/(0,02{)}^2=18/(4\cdot 10^{-4})=4,5\cdot 10^4$ В/м, направлено от $q_1$. Поле $E_2$ по модулю то же, но направлено к отрицательному заряду — то есть в ту же сторону. Складываем: $E=9\cdot 10^4$ В/м = 90 кВ/м. Оба поля работают на одно направление — вот в чём сила диполя.

Сравним электричество с гравитацией. Для двух электронов на расстоянии 1 см электрическое отталкивание больше гравитационного притяжения примерно в $4\cdot 10^{42}$ раз. Сорок два порядка! Поэтому в атомной физике о гравитации забывают сразу, а в небесной механике заряды почти не играют: тела нейтральны, и заряды плюс-минус компенсируются.

Суперпозиция на практике: перпендикулярные поля

Сложение векторов лучше один раз просчитать руками. Задача: два положительных заряда, $q_1=3$ нКл и $q_2=4$ нКл, сидят на перпендикулярных лучах на одинаковом расстоянии 3 см от точки O. Каково поле в O? Прогоним по шагам:

1. 1
   Поле первого: $E_1=9\cdot 10^9\cdot 3\cdot 10^{-9}/(0,03{)}^2=27/(9\cdot 10^{-4})=3\cdot 10^4$ В/м — вдоль первого луча.
2. 2
   Поле второго: $E_2=9\cdot 10^9\cdot 4\cdot 10^{-9}/(0,03{)}^2=36/(9\cdot 10^{-4})=4\cdot 10^4$ В/м — вдоль второго.
3. 3
   Угол между векторами $90^{\circ }$, значит, работает теорема Пифагора: $E=\sqrt{(3\cdot 10^4{)}^2+(4\cdot 10^4{)}^2}$.
4. 4
   Результат: $E=5\cdot 10^4$ В/м = 50 кВ/м — треугольник 3–4–5 в действии.
5. 5
   Проверьте направление: результирующий вектор лежит между лучами и ближе к более сильному полю.

Обратите внимание на порядок действий: сначала модули каждого поля, потом геометрия. Студенты часто складывают числа скалярно — получают $7\cdot 10^4$ В/м и минус балл. Векторы не прощают арифметической лени.

Подведём итог маршрута: заряд измеряется в кулонах и кратен $e$; сила между точечными зарядами подчиняется закону Кулона с квадратом расстояния в знаменателе; заряды действуют через поле, а поле системы складывается векторно. Дальше по курсу: конденсаторы, цепи, магнитное поле — и везде эти три идеи будут возвращаться.