Конденсаторы: ёмкость, соединения и энергия поля

Старая вспышка фотоаппарата издаёт нарастающий писк — это конденсатор копит заряд. Потом щёлк: вся накопленная энергия уходит в одну яркую вспышку, которую батарейка сама за миллисекунду не выдала бы. Дефибриллятор в больнице работает так же. Конденсатор — устройство для хранения электрического заряда и энергии, и в этом уроке мы разберём его вдоль и поперёк: от формулы ёмкости до места, где буквально физически лежит энергия.

Ёмкость: заряд на единицу напряжения#

Любой конденсатор состоит из двух проводников — обкладок, разделённых тонким слоем диэлектрика. Подключаем обкладки к батарее: на одной копится заряд $+Q$, на другой такой же заряд $-Q$. Между обкладками возникает напряжение $U$ — и вот здесь появляется главная величина темы.

Электроёмкость $C$ показывает, какой заряд помещается на обкладках при напряжении в один вольт. Заряд в кулонах, напряжение в вольтах, ёмкость — в фарадах: $1$ Ф $=1$ Кл/В. Формула линейная: увеличили напряжение вдвое — заряд тоже вдвое. Конденсатор послушен, как пружина: сила пропорциональна растяжению.

Важно: ёмкость — свойство самого устройства, а не заряда внутри. Она зависит от геометрии обкладок и диэлектрика, но не от того, подключён ли конденсатор к батарее. Так же и ёмкость банки не зависит от того, налита ли в неё вода.

Уединённый проводник: шар в пустоте#

А что если обкладок две, а проводник один? Заряд на нём создаёт потенциал $\phi =kq/R$ относительно бесконечности, и отношение $q/\phi$ тоже имеет смысл ёмкости — уединённого проводника:

Ёмкость шара пропорциональна радиусу — и больше ни от чего не зависит. Подставим радиус Земли 6400 км: $C=4\pi \cdot 8,85\cdot 10^{-12}\cdot 6,4\cdot 10^6=1,11\cdot 10^{-10}\cdot 6,4\cdot 10^6\approx 7,1\cdot 10^{-4}$ Ф, то есть 710 мкФ. Вот почему цифра из врезки не выдумка: вся наша планета — конденсатор меньше сгущёнки из магазина. Уединённая ёмкость тоже работает в технике: провод антенны накапливает заряд относительно земли, и её ёмкость входит в настройку передатчика.

Плоский конденсатор: чистая геометрия#

Простейший и самый важный для задач случай — две параллельные пластины площадью $S$ на расстоянии $d$ друг от друга, между которыми диэлектрик с проницаемостью $\epsilon$. Для него ёмкость вычисляется насквозь:

Разберём устройство формулы по частям — покликайте фрагменты:

Посчитаем честный пример. Пластины $10\times 10$ см ($S=0,01$ м²), зазор $0,1$ мм ($d=10^{-4}$ м), между ними воздух ($\epsilon =1$). Тогда $C=8,85\cdot 10^{-12}\cdot 0,01/10^{-4}=8,85\cdot 10^{-10}$ Ф $\approx 885$ пФ. Подключаем к 100 В — на обкладках окажется $Q=CU=8,85\cdot 10^{-8}$ Кл, то есть около 89 нКл. Заметьте, насколько малы заряды: кулон в этой теме — как тонна в школьной механике.

Заменим воздух слюдой ($\epsilon =6$) — ёмкость сразу подскочит до 5,3 нФ. Диэлектрик решает две задачи: повышает ёмкость и не даёт пластинам пробить друг друга. Сжатие зазора тоже выгодно, но у него есть предел: при слишком маленьком $d$ диэлектрик пробивается. Воздух держит примерно 3 МВ/м — при зазоре 0,1 мм это 300 В, дальше искра.

Соединения конденсаторов#

В схемах конденсаторы комбинируют, и правила получаются зеркальными к резисторам — тут студенты чаще всего путаются. Держитесь якоря: батарея задаёт одно и то же напряжение параллельным ветвям и один и тот же заряд последовательной цепочке.

Параллельное соединение: все левые обкладки вместе, все правые вместе. Напряжение общее, заряды складываются, поэтому складываются и ёмкости:

Последовательное соединение: обкладки цепочкой. Средняя «колбаса» из пластин нейтральна, поэтому заряды всех конденсаторов одинаковы, а напряжения складываются. Обратные ёмкости складываются:

Числовой прогон. Берём $C_1=C_2=2$ мкФ. Параллельно — $4$ мкФ (больше любого из двух). Последовательно — $1/\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ мкФ (меньше любого из двух). Итог: параллельное соединение усиливает, последовательное — ослабляет. У резисторов всё ровно наоборот, и именно на этом пункте в контрольных образуются воронки.

Прогон посложнее — три конденсатора в цепочку: $C_1=2$ мкФ, $C_2=3$ мкФ, $C_3=6$ мкФ. Складываем обратные величины: $1/C=1/2+1/3+1/6$. Общий знаменатель шесть: $(3+2+1)/6=1$. Значит $C=1$ мкФ — наименьшая из трёх. Полезная проверка: последовательная батарея всегда хуже худшего звена; если вышло иначе — где-то арифметика соскользнула.

Энергия конденсатора и плотность энергии поля#

Заряжая конденсатор, батарея перекачивает заряд против растущего напряжения — работает как насос. Каждый крошечный заряд $dq$ требует $U\cdot dq$ джоулей, а напряжение растёт линейно от нуля до $U$. Итоговая работа равна площади под графиком — половине произведения:

Три формы одной формулы — для разных известных: если знаете $C$ и $U$, берёте первую; если даны $Q$ и $U$ — вторую; если $Q$ и $C$ — третью. Тренируйте глаза узнавать все три. Пример: конденсатор 10 мкФ заряжен до 100 В. Энергия $W=10^{-5}\cdot 10^4/2=0,05$ Дж — 50 миллиджоулей, хватает на короткую вспышку.

Дефибриллятор масштабнее: 200 мкФ при 300 В даёт $W=2\cdot 10^{-4}\cdot 9\cdot 10^4/2=9$ Дж — солидный импульс для запуска сердца. Обратите внимание на квадрат напряжения: удвоили напряжение — энергия выросла вчетверо. Поэтому высоковольтные конденсаторы опаснее, чем кажутся по размеру.

А где физически лежит энергия? В зарядах на пластинах или в поле между ними? Современная физика отвечает однозначно: в электрическом поле. Поле однородного конденсатора занимает объём $S\cdot d$, и на каждый кубический метр приходится

Для поля 5000 В/м в вакууме получаем $w=8,85\cdot 10^{-12}\cdot (5000{)}^2/2\approx 1,1\cdot 10^{-4}$ Дж/м³. Кажется, чуть-чуть. Но у полей в лазерных импульсах и у полей в магнитах МРТ плотности энергии — тысячи джоулей на литр. Идея «энергия живёт в поле» станет ещё важнее, когда мы дойдём до электромагнитных волн: свет несёт энергию именно как перенос энергии поля через пустоту.

Конденсаторы вокруг нас#

В телефоне их сотни, в электросети — тысячи. Зачем инженеры ставят их повсюду? Короткий список задач, которые решает один и тот же плоский сэндвич из пластин:

• сглаживание: после выпрямителя напряжение пульсирует — большой электролитический конденсатор втягивает в себя провалы и держит питание ровным
• вспышка и дефибриллятор: медленно накопили от батарейки — мгновенно отдали, мощность импульса выше, чем у источника
• фильтрация: низкие частоты — через катушку, высокие — через конденсатор; так делят звук между колонками
• переменная ёмкость: вращающийся набор пластин (или варикап — полупроводниковый) меняет $S$ или $\epsilon$ — так настраивают радиоконтур на частоту станции
• клавиатура и сенсорный экран: палец меняет ёмкость точки касания — контроллер замечает и ставит букву