Теорема Гаусса: поток поля, симметрия и расчёт без интегралов

Гроза догнала машину на трассе — и молния ударила прямо в крышу. Водитель вышел живым: металл кузова принял разряд на себя, электрическое поле внутри осталось нулевым. Резиновый коврик тут ни при чём — это свойство замкнутой проводящей оболочки, и доказывается оно в две строки через теорему Гаусса. Тот же инструмент выдаст поле нити, плоскости и заряженного шара без единого честного интеграла.

Что такое поток вектора и зачем он физике#

Начнём с картинки, которую физики любят: электрическое поле рисуют линиями напряжённости, а густота линий показывает силу поля. Тогда напрашивается вопрос: сколько линий протыкает данную поверхность? Вот это число и называют потоком вектора напряжённости $\vec{E}$.

Аналогия честная: дождь падает вертикально, а вы выставляете окно. Через окно площадью $S$ пройдёт воды пропорционально $S$ — но если окно положить плашмя, струи будут скользить вдоль стекла, и воды ноль. Значит, в дело входит угол: работает проекция вектора на нормаль к поверхности. Для однородного поля $E$ через плоскую площадку поток записывается одной формулой:

Здесь ${\Phi }_E$ — поток в вольт-метрах (В·м), $S$ — площадь в квадратных метрах, $\alpha$ — угол между $\vec{E}$ и перпендикуляром к площадке. Поле насквозь, вдоль нормали — максимальный поток; поле вдоль поверхности — ноль. Если поле неоднородное, поверхность нарезают на кусочки, каждый кусочек умножают на местное $E$ и складывают — по замкнутой поверхности сумма пишется значком $\oint$. Напряжённость как силовая характеристика поля мы уже вводили в уроке про напряжённость и потенциал, там же — линии поля.

Что утверждает теорема Гаусса#

Формулировка короткая: поток вектора напряжённости через любую замкнутую поверхность равен суммарному заряду внутри, делённому на ${\epsilon }_0$. Никакой зависимости от формы поверхности и от того, где именно внутри сидит заряд. Линии поля начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных — вот и весь секрет: сколько линий родилось внутри, столько и выйдет наружу.

Из теоремы мгновенно следует пара неочевидных фактов. Заряды снаружи замкнутой поверхности на суммарный поток не влияют: сколько линий от них вошло, столько и вышло. А нулевой поток означает лишь, что внутри суммарный заряд ноль — там вполне могут прятаться $+q$ и $-q$ одновременно. Держите обе мысли при себе, на квизах они стреляют часто.

Почему сфера решается в три строки#

Главная ценность теоремы — расчёт полей по симметрии. Точечный заряд $q$ идеален для старта: вокруг него всё одинаково по всем направлениям, поэтому выбираем вспомогательную поверхность — сферу радиусом $r$ с центром на заряде. Поле на этой сфере всюду одинаково по модулю и всюду смотрит наружу, вдоль нормали. Прогоним по шагам:

1. 1
   Симметрия: на сфере радиусом $r$ поле $E$ постоянно по модулю и направлено радиально — вдоль нормали, так что $\cos \alpha =1$.
2. 2
   Поток: ${\Phi }_E=E\cdot 4\pi r^2$ — модуль поля умножить на площадь сферы.
3. 3
   Заряд внутри: $q$ — он весь сидит в центре, сторонних зарядов нет.
4. 4
   Приравниваем: $E\cdot 4\pi r^2=q/{\epsilon }_0$, откуда $E=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$ — тот самый закон обратных квадратов.

Вышел закон Кулона для поля, только без единого интеграла. Обратное тоже верно: из закона обратных квадратов вытекает теорема Гаусса. Это не два разных закона, а два взгляда на одно — через силу и через поток. Именно поэтому закон Кулона работает только в трёхмерном пространстве: в плоскости линии разбегались бы по окружности, и степеней было бы на одну меньше.

Числа для осязаемости. Сфера радиусом $R=10$ см с зарядом $q=2$ нКл: у поверхности $E=\frac{9\cdot 10^9\cdot 2\cdot 10^{-9}}{(0,1{)}^2}=1,8\cdot 10^3$ В/м — тысяча восемьсот вольт на метр, или 1800 Н/Кл, это одно и то же. Отойдём на 20 см — поле упадёт до 450 В/м: удвоили расстояние, поле ослабло вчетверо. А полный поток через сферу не зависит от радиуса вовсе: ${\Phi }_E=q/{\epsilon }_0=2\cdot 10^{-9}/8,85\cdot 10^{-12}\approx 226$ В·м. Радиус вырос вдвое, площадь сферы — вчетверо, поле упало вчетверо: произведение стоит на месте.

Почему внутри заряженной сферы поля нет#

Теперь физика металла. В проводнике заряды свободно бегают, значит, в равновесии поле внутри проводника обязано быть нулевым — иначе они бы продолжали бежать. Возьмём заряженный металлический шар и мысленно окружим его поверхность внутри металла. Поток через неё ноль, значит, по теореме Гаусса суммарный заряд внутри ноль. Снаружи-то шар заряжен — откуда вывод? Весь заряд сидит на поверхности, внутри объёма проводника его нет.

Отсюда и клетка Фарадея из начала урока. Кузов, клетка из сетки, даже микроволновка — замкнутая проводящая оболочка держит внутри поле нулевым, заряд на её поверхности располагается так, чтобы гасить внешнее поле. Самолёт, в который ударила молния, — та же история: пассажиры сидят внутри металлической оболочки. Диаметр ячеек сетки важен лишь для переменных полей, а статическое поле экранируется идеально даже сеткой.

Как нить и плоскость выдают ответы без интегралов#

Бесконечная нить

Длинная заряженная нить с линейной плотностью заряда $\lambda$ (Кл/м) симметрична вдоль себя: поле может смотреть только радиально, прочь от нити, и зависеть только от расстояния $r$. Значит, вспомогательная поверхность — коаксиальный цилиндр. Через основания цилиндра поток нулевой (поле скользит вдоль них), через боковую стенку — $E\cdot 2\pi rl$. Внутри сидит заряд $\lambda l$:

Длина цилиндра $l$ сократилась — как и положено, ответ от неё не зависит. Спад $1/r$: медленнее, чем у точечного заряда, потому что линии разбегаются не по сфере, а по цилиндру. Числа: нить с $\lambda =2$ нКл/м на расстоянии $5$ см даёт $E=\frac{2\cdot 10^{-9}}{2\pi \cdot 8,85\cdot 10^{-12}\cdot 0,05}\approx 720$ В/м. Отойдём на 10 см — поле 360 В/м, ровно вдвое меньше.

Бесконечная плоскость

Плоскость с поверхностной плотностью заряда $\sigma$ (Кл/м²) ещё наглее: её поле одинаково по обе стороны, перпендикулярно плоскости, и — вот сюрприз — не зависит от расстояния. Вспомогательная коробочка, пронзающая плоскость, даёт поток только через две торцевые крышки площадью $S$, а внутри сидит заряд $\sigma S$:

При $\sigma =10$ нКл/м² выходит $E=\frac{10\cdot 10^{-9}}{2\cdot 8,85\cdot 10^{-12}}\approx 565$ В/м — и на миллиметре от плоскости, и в километре. Бесконечных плоскостей в природе нет, но это честное приближение для области, где расстояние до края велико. Две параллельные плоскости с зарядами $+\sigma$ и $-\sigma$ складывают поля только между собой: там $E=\sigma /{\epsilon }_0\approx 1130$ В/м, снаружи — ноль. Это уже почти конденсатор: устройство, два заряженных листа и поле, запертое между ними, подробно разбирается в уроке про конденсаторы.

Где у шара с зарядом самое сильное поле#

Диэлектрический шар радиусом $R$ с равномерно распределённым по объёму зарядом $q$ — последний классический этюд. Вне шара он неотличим от точечного заряда: $E=kq/r^2$, потому что снаружи видно лишь суммарный заряд. А внутри картина красивая: поверхность радиусом $r<R$ охватывает только долю заряда — объём такой сферы относится к объёму шара как $r^3/R^3$. После сокращений:

Поле внутри растёт линейно с расстоянием: ноль в центре, максимум на поверхности. Числа: шар $R=5$ см с $q=1$ нКл имеет плотность $\rho \approx 1,9$ мкКл/м³; на середине радиуса $E=1,8$ кВ/м, на поверхности $E=3,6$ кВ/м, а дальше снаружи — спад по квадрату: на 10 см остаётся 0,9 кВ/м. Линейный рост внутри однородного шара вы уже встречали в гравитации: сила притяжения внутри однородной планеты ведёт себя точно так же — физика потоков не знает, о каком поле идёт речь (см. урок про гравитацию и орбиты).

Как решать задачи на теорему Гаусса: четыре шага#

1. Выбрать вспомогательную замкнутую поверхность под симметрию задачи: сфера для точечного заряда и шара, цилиндр для нити, коробочка для плоскости.
2. Посчитать поток: где поле скользит вдоль поверхности — ноль, где перпендикулярно — $E$ умножить на площадь; вынести $E$ за знак суммы.
3. Посчитать заряд внутри поверхности — весь, долю по объёму $r^3/R^3$ или кусок $\lambda l$.
4. Приравнять ${\Phi }_E=q/{\epsilon }_0$ и выразить $E$; проверить, что вспомогательные величины ($l$, $S$) сократились.

Следующий шаг простой: закрепите поле энергетически — потенциал часто удобнее напряжённости, об этом урок про напряжённость и потенциал. Решите три задачи из любого задачника про нить и плоскость — после третьей формулы перестанут казаться подстановками и начнут складываться из симметрии.