Гравитация и орбиты: от яблока до космических скоростей

Луна висит над нами на расстоянии 384 000 км и почему-то не улетает и не падает. Яблоко падает на землю, а МКС падает уже двадцать с лишним лет — и промахивается мимо. Это одна и та же физика: Ньютон догадался, что сила, роняющая яблоко, крутит Луну по орбите. Разберём, как из одной формулы вырастает вся небесная механика.

Закон всемирного тяготения#

Каждые два тела притягиваются с силой, пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния:

Символы: $m_1$ и $m_2$ — массы тел в килограммах, $r$ — расстояние между центрами в метрах, $G=6.674\cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг² — гравитационная постоянная, измеренная Кавендишем через 111 лет после выхода «Начал». Квадрат расстояния — не опечатка: отодвиньте тела вдвое, притяжение ослабнет вчетверо.

Оценка на глазок. Два человека по 70 кг на расстоянии 1 м притягиваются с силой $F=6.674\cdot 10^{-11}\cdot 4900\approx 3.3\cdot 10^{-7}$ Н — три десятимиллионных ньютона, вес одной пылинки. А Земля с массой $5.97\cdot 10^{24}$ кг давит прилично: та же формула с $m_2=M_{\oplus }$ и $r=R_{\oplus }=6371$ км даёт ускорение $g=9.8$ м/с². Гравитация слабейшая из взаимодействий, но её преимущество — неэкранируемость и сложение: планет хватает, чтобы сжимать атомы в звёздах.

Тяжесть на высоте: почему невесомость — не отсутствие гравитации#

Приравняем закон тяготения ко второму закону Ньютона для свободного тела: $mg=G\frac{Mm}{r^2}$, масса тела сокращается — получаем ускорение свободного падения $g=\frac{GM}{r^2}$. На поверхности Земли оно равно 9.8 м/с², а на высоте $h$ над ней:

Посчитаем для Международной космической станции: $h=400$ км, $r=6771$ км, отношение $\frac{6371}{6771}\approx 0.941$, в квадрате $0.885$, значит $g^{\prime }\approx 8.7$ м/с². Гравитация на орбите ослабла всего на 12 процентов! Космонавты невесомы не потому, что притяжение исчезло, а потому, что станция вместе с ними находится в свободном падении — падает на Землю и промахивается из-за горизонтальной скорости.

Именно тут сходятся концы: задача о спутнике — это задача о вращательном движении, где центростремительным ускорением управляет тяготение, а равнодействующая сводится к одному слагаемому.

Космические скорости#

Какую скорость нужно сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно стало спутником? Приравниваем тяготение к центростремительной силе: $\frac{m{v}^2}{r}=\frac{GMm}{r^2}$, откуда первая космическая скорость $v_1=\sqrt{\frac{GM}{r}}$. У поверхности Земли это:

Удвойте подкоренное выражение — получите вторую космическую скорость $v_2=\sqrt{2}{v}_1\approx 11.2$ км/с: минимум, чтобы навсегда покинуть Землю (параболическая орбита). Откуда корень из двух — из энергетики: кинетическая энергия должна равняться работе против тяготения при удалении на бесконечность, $\frac{m{v}^2}{2}=\frac{GMm}{r}$. Третью космическую (16.7 км/с) спрашивают реже — она покидает уже Солнечную систему.

График показывает закон жизни орбит: чем дальше спутник, тем меньше нужна скорость, но тем дольше период. МКС летает на 7.7 км/с и облетает Землю за 92 минуты, геостационарные спутники (высота 35 786 км) едут 3.1 км/с и делают ровно один оборот в сутки. Расчёт для МКС: $r=6771$ км, $v=\sqrt{398600/6771}\approx 7.67$ км/с, период $T=\frac{2\pi r}{v}\approx 5550\text{с}\approx 92.5$ минуты.

Эллипсы Кеплера и закон сохранения#

Круг — частный случай. Движение в поле тяготения — классическая задача Кеплера, и Кеплер в начале XVII века показал на данных Тихо Браге, что планеты ходят по эллипсам, в одном из фокусов которых стоит Солнце, а радиус-вектор заметает равные площади за равные времена. Ньютон объяснил оба закона через динамику: второй — это сохранение момента импульса для центральной силы, а третий закон $\frac{T^2}{a^3}=\text{const}$ выпадает из выражения для периода круговой орбиты $T=2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ после замены круга на эллипс с большой полуосью $a$ (вывод опирается на производную и баланс сил — тот же, что выше).

Проверка формул на Луне

1. 1
   Данные: $r=384400$ км от центра Земли, $GM=398600$ км³/с²
2. 2
   Скорость: $v=\sqrt{GM/r}=\sqrt{398600/384400}\approx 1.02$ км/с — на порядок медленнее МКС
3. 3
   Период: $T=\frac{2\pi r}{v}\approx 2.37\cdot 10^6$ с
4. 4
   Переводим в сутки: $2.37\cdot 10^6/86400\approx 27.4$ суток — табличное значение сидерического месяца 27.3 суток
5. 5
   Вывод: одна формула тяготения закрыла и падение яблока, и МКС, и Луну — от микромасштаба до небесной механики

Цифры для ориентировки: Солнце притягивает Луну примерно вдвое сильнее, чем Земля. Почему же Луна не улетела к Солнцу? Потому что Солнце притягивает и Землю с той же добавкой — обе летят вокруг Солнца вместе, а их взаимное притяжение лишь связывает пару. Парадокс разрешается вниманием к тому, что именно сравнивается: не силы, а относительные ускорения пары.

Техническая заметка в пользу третьего закона Кеплера: сравните Луну и МКС. Радиусы различаются в 56.8 раза, периоды — в 426.6 раза; проверьте: $56.8^3\approx 183000$ и $426.6^2\approx 182000$ — сходство с точностью до полупроцента. Отношение $T^2/r^3$ одинаково для всех спутников одной планеты, и искусственные аппараты живут по тем же правилам, что и небесные тела.

• $v_1=\sqrt{gR}\approx 7.9$ км/с — круг у поверхности
• $v_2=\sqrt{2}{v}_1\approx 11.2$ км/с — побег навсегда
• Дальше — медленнее: $v\sim 1/\sqrt{r}$, зато период растёт как $r^{3/2}$
• Невесомость — свободное падение, а не отсутствие притяжения

Дополнительный факт про энергетику орбит. Полная механическая энергия тела на круговой орбите отрицательна: $E=-\frac{GMm}{2r}$. Знак минус — подпись «привязанного» тела: чтобы увести спутник на бесконечность, энергии нужно добавить ровно $\frac{GMm}{2r}$ — половину модуля. Отсюда и второй закон Кеплера в энергетической упаковке: чем ближе к планете, тем глубже энергетическая яма и тем быстрее движение. А переход на более высокую орбиту требует включения двигателя: энергия должна вырасти, хотя скорость при этом парадоксально падает.