Законы Ньютона: три опоры динамики с разбором задач

Автобус резко тормозит — вы летите вперёд. Он трогается — вас вдавливает в спинку. Тело упрямится: оно не хочет менять скорость. Триста лет назад Ньютон записал три коротких утверждения, которые превращают это упрямство в математику. С ними любая задача о движении становится алгоритмом: найди силы — сложи векторы — раздели на массу.

Первый закон: инерция и инерциальные системы#

Первый закон Ньютона: существуют системы отсчёта, в которых тело сохраняет скорость неизменной, пока на него не действуют другие тела или их действие скомпенсировано. Такие системы называют инерциальными (ИСО). В них покоящееся тело покоится дальше, а движущееся катится с постоянной скоростью — само по себе.

Звучит очевидно, но это самый редкий в жизни сценарий: шайба на льду замедляется (трение), камень падает (тяжесть). Первый закон не про тела — он про рамку, в которой мы работаем. Система отсчёта, движущаяся с постоянной скоростью относительно ИСО, тоже инерциальна. А разгоняющийся лифт — нет: внутри него предметы «сами» смещаются, и законы Ньютона в чистом виде там не работают.

Второй закон: главный расчётный инструмент#

Второй закон Ньютона связывает причину (силу) и следствие (ускорение):

Расшифровка: $\sum \vec{F}$ — векторная сумма всех сил, приложенных к телу (равнодействующая); $m$ — масса в килограммах, мера инертности; $\vec{a}$ — ускорение, измеряется в м/с². Единица силы — ньютон: $1\text{Н}=1\text{кг}\cdot {\text{м/с}}^2$. Сила в один ньютон даёт килограммовой гире ускорение 1 м/с².

Ключевое слово — векторная. Складывать силы нужно по правилам векторного сложения, о котором рассказано в уроке о векторах и операциях. Две силы по 5 Н под углом 120° дают равнодействующую 5 Н, а не 10 Н. Масса при этом — скаляр и всегда положительна, так что ускорение направлено строго вдоль равнодействующей.

Есть и вторая форма закона — через производную импульса: $\sum \vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$. Она работает и для тел переменной массы (ракета), и станет главным героем следующего урока об импульсе и сохранении.

Силы, с которыми вы будете работать весь семестр#

Второй закон — это рамка, а наполнение дают конкретные силы. В школьно-университетском наборе их четыре с половиной, и у каждой есть готовая формула:

• Сила тяжести: $F_{\text{т}}=mg$, направлена вниз, $g=9.8$ м/с²
• Сила реакции опоры $N$: перпендикулярна поверхности, числом подстраивается под ситуацию
• Сила трения скольжения: $F_{\text{тр}}=\mu N$, где $\mu$ — коэффициент трения, направлена против скорости
• Сила натяжения нити $T$: вдоль нити, идеальная нить нерастяжима и невесома
• Сила упругости пружины: $F=-kx$ (закон Гука) — со знаком минус, против растяжения

Реакция опоры — самая хитрая из списка: у неё нет фиксированного числа, она ровно такая, чтобы тело не провалилось. Положите кирпич массой 2 кг на стол — $N=mg=19.6$ Н. Надавите сверху с силой 5 Н — реакция вырастет до 24.6 Н. Она как пружина, подстраивающаяся под нагрузку, — только жёсткость у поверхности огромная.

Третий закон: силы ходят парами#

Третий закон Ньютона: тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению, вдоль одной прямой.

Вы давите на стену с силой 10 Н — стена давит на вас с силой 10 Н. Гонка ракеты: газы вылетают назад, ракета движется вперёд. Земля притягивает яблоко — яблоко притягивает Землю с той же силой, просто ускорение Земли ничтожно из-за массы.

А теперь главный вопрос, на котором ломаются мозги: если силы равны, почему лошадь вообще тянет телегу? Действие и противодействие приложены к разным телам: сила тяги со стороны земли на копыта и сопротивление телеги — разные пары сил, и на телегу из всей суммы действует только натяжение оглобель. Они складываются не в ноль, и система разгоняется.

Если тел несколько

Задачи про связанные тела — грузы через блок, брусок на бруске — решаются тем же законом, только уравнений понадобится несколько. Рецепт: на каждое тело — свой рисунок сил и свой второй закон, а связь между движениями задаётся нерастяжимой нитью (ускорения равны по модулю) и идеальным блоком (натяжение одинаково по обе стороны). Собирается система уравнений, из которой исключают неизвестные промежуточные — обычно натяжение.

Оси выбирайте вдоль ускорения, а не «как удобно рисовать»: одна вдоль нити, вторая поперёк. На наклонных плоскостях ось вдоль поверхности мгновенно упрощает проекции — мы этим воспользовались в разборе ниже. Ошибка новичка — расписывать силы по осям, забы́в, что проекция вектора на ось — это произведение на косинус угла между ними, со знаком.

Алгоритм: брусок скользит по наклонной плоскости#

Классика задачников, на которой тренируют весь аппарат динамики. Брусок на наклонной плоскости с углом $\alpha =30°$, коэффициент трения $\mu =0.2$, отпускаем без начальной скорости. Вопрос: ускорение?

Заметьте два бонуса. Масса сократилась — все бруски на этой плоскости соскальзывают одинаково. И ускорение зависит от разности $\sin \alpha -\mu \cos \alpha$: при $\tan \alpha \le \mu$ она не положительна, брусок стоит. Тангенс этого угла называют углом трения — рассыпанная соль в банке образует конус именно с таким склоном.

Проверить себя можно против таблицы производных и тригонометрии — синусы и косинусы половинных углов здесь встречаются постоянно: шпаргалка по тригонометрическим формулам и тренажёр тригонометрии.