Импульс и законы сохранения: столкновения по-честному

Битый час можно разбирать бильярдный удар: каковы силы контакта, как деформируются шары, куда уходит тепло. А можно записать одну строку — импульс до удара равен импульсу после — и получить ответ сразу. Законы сохранения — это короткие пути физики: они работают даже там, где детали процесса неизвестны. Этим они и прекрасны.

Импульс: количество движения#

Импульс тела — произведение массы на скорость:

Здесь $m$ — масса в килограммах, $\vec{v}$ — скорость в м/с, а единица импульса — кг·м/с. В старых учебниках импульс называют «количеством движения», и это название хорошо передаёт смысл: сколько движения набрало тело. Импульс человека массой 60 кг, идущего со скоростью 1.5 м/с, равен 90 кг·м/с. Пуля массой 10 г при скорости 700 м/с имеет импульс 7 кг·м/с — в тринадцать раз меньше, хотя скорость в сотни раз больше.

Второй закон в импульсной форме#

Продифференцируем импульс по времени — при постоянной массе получим знакомый второй закон Ньютона, а в общем виде получим его самую общую формулировку:

Для конечного интервала времени эту формула превращается в утверждение об импульсе силы: $\Delta \vec{p}=\vec{F}\Delta t$. Быстро изменить импульс — нужна большая сила; растянуть процесс по времени — сила мала. Прыгун с высоты сгибает колени не для красоты: он увеличивает время контакта с землёй с 0.01 с до 0.1 с, снижая ударную силу в десять раз.

Числовой пример. Мяч массой 0.5 кг летит к стене со скоростью 10 м/с и отскакивает со скоростью 8 м/с. Изменение импульса: $\Delta p=0.5\cdot (10+8)=9$ кг·м/с (скорости противоположны, поэтому модули складываются). Если контакт длился 0.02 с, средняя сила удара равна $F=\Delta p/\Delta t=450$ Н — как вес пассажира массой 46 кг, всего на двадцать миллисекунд.

Закон сохранения импульса#

Закон сохранения импульса: в замкнутой системе суммарный импульс не меняется.

Замкнутая система — та, на которую внешние силы не действуют или действие их скомпенсировано. Откуда закон берётся? Из третьего закона Ньютона: внутренние силы по парам равны и противоположны, приложены к телам системы в один момент — и при суммировании уничтожают друг друга. Менять суммарный импульс могут только внешние силы.

Практическое замечание: система может быть «не замкнута по вертикали» (действует тяжесть), но замкнута по горизонтали (трения нет). Тогда сохраняется проекция импульса на горизонтальную ось — и этого достаточно для большинства задач о столкновениях.

Упругие, неупругие и между ними#

Столкновения различают по тому, сохраняется ли кинетическая энергия. Импульс сохраняется всегда (в замкнутой системе), а вот энергия — не обязана: она умеет превращаться в тепло и деформацию.

Для абсолютно упругого удара двух тел есть готовые формулы, но запоминать их не стоит — важнее уметь записать два уравнения: сохранение импульса и сохранение энергии. Именно так доказывают, например, что при лобовом упругом ударе одинаковых масс тела обмениваются скоростями.

Реактивное движение: сохранение импульса в чистом виде#

Ракета выбрасывает газы назад с большим импульсом — и получает такой же импульс вперёд. Никакого «отталкивания от воздуха», как думали в XIX веке: в космосе работать только так и можно. Если из ракеты массой $M$ мгновенно выбросить порцию топлива массой $m$ со скоростью $u$ относительно ракеты, ракета получит прибавку скорости порядка $\frac{m}{M}u$ при $m\ll M$. Последовательное применение этой идеи приводит к формуле Циолковского, а уравнение Мещерского для тела переменной массы — прямое следствие записи второго закона в импульсной форме. Подробности уводят нас в дифференциальные уравнения, но суть уже видна.

Разбор: упругий удар одинаковых шаров

Почему при лобовом упругом ударе одинаковых масс тела обмениваются скоростями? Докажем не формулой из справочника, а честной системой. Шары по 0.2 кг летят навстречу: $v_1=3$ м/с и $v_2=-1$ м/с. Два уравнения — сохранение импульса и сохранение кинетической энергии:

1. 1
   Из первого уравнения: $v_2^{\prime }=2-v_1^{\prime }$. Подставляем во второе: $(v_1^{\prime }{)}^2+(2-v_1^{\prime }{)}^2=10$
2. 2
   Раскрываем: $2(v_1^{\prime }{)}^2-4v_1^{\prime }-6=0$, то есть $(v_1^{\prime }{)}^2-2v_1^{\prime }-3=0$
3. 3
   Корни: $v_1^{\prime }=3$ и $v_1^{\prime }=-1$. Первый — «шары пролетели друг сквозь друга», второй — честный удар
4. 4
   Ответ: $v_1^{\prime }=-1$ м/с, $v_2^{\prime }=3$ м/с — скорости поменялись местами, как и обещано

У сохранения импульса есть красивая переформулировка через центр масс: в замкнутой системе центр масс движется равномерно и прямолинейно, что бы ни происходило внутри. Разрыв снаряда в полёте не трогает его центр масс: осколки разлетаются, а их «средняя точка» продолжает лететь по старой параболе. На этой идее стоит решение задач о прыжках и ракетах: подвинуть центр масс без внешней силы невозможно, можно лишь менять вокруг него позу.

• Импульс сохраняется всегда — пишем его первым уравнением
• Кинетическая энергия — только в упругом ударе; в неупругом она уходит в тепло
• Знаки проекций выбираем до подстановки чисел и держим до конца
• Проверка ответа: подставьте скорости в оба закона — оба обязаны сойтись