Работа и энергия: джоули, интеграл и закон сохранения

Поднимите чемодан на пятый этаж — устанете. Поднимите его на лифте — устанет двигатель. Физика измеряет эту усталость одной величиной: работой в джоулях. А затем делает фокус, который экономит страницы конспектов: если силы «хорошие», работа запасается в энергии и не теряется. Один закон сохранения решает задачи, для которых уравнений Ньютона понадобилось бы десять.

Работа: сила, умноженная на перемещение с оговоркой#

Механическая работа — скалярная величина, равная произведению модуля силы на модуль перемещения и на косинус угла между ними:

Разбор по символам: $F$ — модуль силы в ньютонах, $s$ — модуль перемещения в метрах, $\alpha$ — угол между направлением силы и направлением движения. Единица — джоуль: $1\text{Дж}=1\text{Н}\cdot 1\text{м}$. Косинус делает работу «умной» величиной:

• $\alpha =0$ — сила помогает движению: $A>0$ (тяга двигателя)
• $\alpha =90°$ — сила перпендикулярна движению: $A=0$ (реакция рельсов, тяжесть при движении по горизонтали)
• $\alpha =180°$ — сила мешает: $A<0$ (трение всегда берёт отрицательную работу)

Пример. Чемодан массой 15 кг поднимают на высоту 3 м: работа против тяжести $A=mgh=15\cdot 9.8\cdot 3=441$ Дж. А теперь переноска чемодана по коридору 20 м: работа тяжести — ноль, она перпендикулярна движению. Устали? Это усталость мышц, а не механическая работа: мышцы тратят энергию, даже сокращаясь без перемещения. Физика к биохимии равнодушна.

Переменная сила: работа как интеграл#

Формула с косинусом работает для постоянной силы. А если сила меняется — как у пружины, которая тянет тем сильнее, чем сильнее растянута? Тогда путь разбивают на малые участки $dx$, на каждом силу считают постоянной, а работу складывают. Предел этого процесса — интеграл:

Для пружины жёсткостью $k$ из закона Гука $F=kx$ (подробнее — в уроке о механических колебаниях), растяжение от нуля до $x$ даёт $A=\frac{k{x}^2}{2}$. Геометрически: график силы — прямая из начала координат, а работа — площадь под ней, треугольник. Если интегралы пока пугают, начните с словарной статьи об интеграле — идея ровно одна: сумма бесконечно мелких вкладов.

Кинетическая энергия: работа превращается в движение#

Толкните тело — оно разгонится, и совершённая работа запасётся в движении. Величина, которая хранит эту работу, — кинетическая энергия:

Теорема о кинетической энергии — рабочая лошадка задач, где не спрашивают о времени движения. Автомобиль массой 1000 кг при скорости 20 м/с несёт $E_k=\frac{1000\cdot 400}{2}=200000$ Дж = 200 кДж. Чтобы остановить его, тормоза должны отобрать все двести тысяч джоулей. Обратите внимание на квадрат скорости: при удвоении скорости энергия вырастает вчетверо — и тормозной путь тоже. Для набора тел суммой их энергий задаётся кинетическая энергия системы.

Потенциальная энергия и закон сохранения#

Силы делятся на два лагеря, а приносит их телам силовое поле — вектор силы, приписанный каждой точке пространства. Консервативные (тяжесть, упругость, тяготение) устроены так: их работа зависит только от начальной и конечной точек, но не от пути. Для них вводят потенциальную энергию — запас работы, которую сила может совершить в будущем:

Теперь главный закон этого урока. Если действуют только консервативные силы, полная механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной — не меняется:

Числовой пример. Санки спускаются с ледяной горки высотой 5 м без трения. Наверху: $E_p=mgh$, кинетической энергии ноль. Внизу: вся энергия кинетическая. Приравниваем: $\frac{m{v}^2}{2}=mgh$, масса сокращается, $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot 9.8\cdot 5}=\sqrt{98}\approx 9.9$ м/с. Ни массы, ни формы горки, ни времени спуска знать не нужно — в этом сила метода.

Мощность: энергия в единицу времени#

Один и тот же подъём на гору можно пройти пешком за два часа или взлететь на подъёмнике за пять минут. Работа одна, отличие — во времени. Мощность — скорость совершения работы:

Единица — ватт: $1\text{Вт}=1\text{Дж/с}$. Лифт поднимает кабину массой 500 кг на 12 м за 10 с: мощность двигателя $P=\frac{500\cdot 9.8\cdot 12}{10}=5880$ Вт, около 6 кВт. Формула $P=Fv$ объясняет, зачем автомобилю передачи: мощность двигателя ограничена, и на малой скорости остаётся запас силы, а на большой — нет.

Разбор: американские горки без трения

1. 1
   Энергия на старте: $E=mgh=500\cdot 9.8\cdot 10=49000$ Дж — вся потенциальная
2. 2
   В нижней точке вся энергия кинетическая: $\frac{m{v}^2}{2}=49000$, откуда $v=\sqrt{2\cdot 9.8\cdot 10}=14$ м/с
3. 3
   На следующем подъёме высотой 4 м остаётся «запас высоты» 6 м: $v=\sqrt{2\cdot 9.8\cdot 6}\approx 10.8$ м/с
4. 4
   Максимальная высота подъёма — исходные 10 м: выше энергия не возьмётся, тележка застрянет на гребне с нулевой скоростью
5. 5
   Проверка массы: она сократилась на всех шагах — траектория не зависит от того, пустая тележка или полная

Заметьте, как энергетический подход обошёлся без картины сил: не понадобились ни нормальная реакция опоры, ни форма трассы между точками. Достаточно было высот. Именно за это энергетику любят в задачах с горками, маятниками и качелями: если спрашивают про скорость, а не про время — начинайте с энергии.

Мощности вокруг нас — для калибровки интуиции: лампочка 60 Вт, человек на лестнице 200–300 Вт, марафонец держит 300 Вт часами, двигатель легковушки 80 кВт, электропоезд — мегаватты. Старая единица «лошадиная сила» живёт в паспортах машин: 1 л.с. ≈ 736 Вт, так что стосильный мотор — это около 74 кВт. Прикидка порядка величины — половина инженерной интуиции: если расчёт выдал, что чайник ест мегаватт, ошибка найдётся ещё до проверки арифметики.