Задачи на движение

Задачи на движение — самый старый жанр текстовых задач: им больше четырёх тысяч лет, они встречались ещё на вавилонских табличках. И всё это время решаются они одним уравнением $S=v\cdot t$: путь равен скорость на время. Вся сложность жанра — не в арифметике, а в переводе сюжета на язык этой формулы: кто с кем сравнивается, скорости складываются или вычитаются, что происходит с течением реки. Физическая подоплёка — в уроке кинематика точки, школьный набор формул — в шпаргалке по механике.

Главный рабочий инструмент — таблица участников. Строки: велосипедист, автомобиль, плот, второй этап пути. Столбцы: скорость, время, путь. Каждая строка подчиняется $S=vt$, а сюжет задачи превращается в одно уравнение между ячейками таблицы: «прибыли одновременно» — равны времена; «встретились» — сумма путей равна расстоянию; «догнал» — равны пути с поправкой на фору. Как только уравнение записано, задача перестаёт быть текстовой и становится алгеброй.

Вторая опора — правило сложения скоростей. По течению лодка плывёт быстрее на скорость течения, против — медленнее на него же; пассажир идёт по эскалатору — его скорость складывается со скоростью ленты; два объекта едут навстречу — сближаются со суммой скоростей, один догоняет другого — с разностью. Ниже таблица распознавания сюжетов, алгоритм, два примера и карточки для повторения.

Классификация: 5 сюжетов#

Метод: таблица и одно уравнение#

1. 1
   Составьте таблицу «участник — скорость — время — путь» и заполните всё, что дано. Неизвестную обозначьте $x$ в той ячейке, которую спрашивают.
2. 2
   Переведите сюжет в связь между строками: одновременное прибытие — равенство времён, встреча — сумма путей, обгон — разность путей.
3. 3
   Выразите недостающие ячейки через $S=vt$ так, чтобы осталось одно неизвестное.
4. 4
   Решите уравнение; отбракуйте корни по смыслу: время и скорость неотрицательны.
5. 5
   Проверьте ответ обратной подстановкой в сюжет, а не только в уравнение: посчитайте заново оба пути, сумму, разность.
6. 6
   Проверьте единицы: минуты против часов — лидер среди глупых потерь балла.

Разобранный пример 1: одновременное прибытие#

Из города A в город B, расстояние между которыми 60 км, выехал велосипедист. Через 2 часа вслед за ним выехал мотоциклист со скоростью на 40 км/ч больше, и прибыли они в B одновременно. Найти скорости. Участников два, связь — по времени.

1. 1
   Таблица: велосипедист — скорость $v$, время $\frac{60}{v}$; мотоциклист — $v+40$, время $\frac{60}{v+40}$.
2. 2
   Связка: мотоциклист выехал на 2 часа позже, а прибыл одновременно — его время в пути меньше ровно на 2: $\frac{60}{v}-\frac{60}{v+40}=2$.
3. 3
   Общий знаменатель: $60(v+40)-60v=2v(v+40)\Rightarrow 2400=2v^2+80v$, то есть $v^2+40v-1200=0$.
4. 4
   По Виету корни $20$ и $-60$; отрицательный отбрасываем по смыслу.
5. 5
   Ответ: велосипедист 20 км/ч, мотоциклист 60 км/ч. Проверка сюжетом: $\frac{60}{20}=3$ ч и $\frac{60}{60}+2=3$ ч — прибыли одновременно, всё сходится.

Обратите внимание, где в этом сюжете сидит уравнение: не в «скоростях», а в разности времён. Формулировка «прибыли одновременно» — самая частая связка в задачах этого подтипа, и она всегда означает равенство или сдвиг времён в таблице. Если бы мотоциклист прибыл на полчаса раньше, уравнение изменилось бы на $\frac{60}{v}-\frac{60}{v+40}=2,5$ — таблица позволяет править сюжет одной ячейкой.

Разобранный пример 2: река и средняя скорость#

Лодка прошла 24 км по течению и вернулась обратно, потратив на всё 5 часов. Скорость течения 2 км/ч. Найти собственную скорость лодки и среднюю скорость на маршруте. Классическая сборка двух сюжетов.

1. 1
   Собственная скорость $v$: по течению $v+2$, против $v-2$.
2. 2
   Уравнение времени: $\frac{24}{v+2}+\frac{24}{v-2}=5$.
3. 3
   Общий знаменатель $v^2-4$: $24(v-2)+24(v+2)=5(v^2-4)\Rightarrow 48v=5v^2-20$.
4. 4
   $5v^2-48v-20=0$, дискриминант $2304+400=2704=52^2$, корни $\frac{48\pm 52}{10}$ — подходит $v=10$.
5. 5
   Проверка: $\frac{24}{12}+\frac{24}{8}=2+3=5$ ч — сходится. Средняя скорость: весь путь 48 км за 5 ч даёт $v_{\text{ср}}=9,6$ км/ч — меньше собственной, потому что против течения лодка дольше.

Типичные ошибки#

• Складывают скорости в погоне: догоняющий сокращает фору разностью, а не суммой.
• Среднюю скорость считают как среднее арифметическое — правильный знаменатель это суммарное время.
• Забывают про поздний выезд: фору надо вычесть из пути догоняющего или прибавить к его времени.
• Смешивают единицы: минуты с часами, метры с километрами — проверяйте перед подстановкой.
• Не отбраковывают корни по смыслу: отрицательное время или скорость больше скорости света решение не описывают.

Проверьте себя#

Что смотреть дальше#

1. Физическая база движений — урок кинематика точки.
2. Когда появляется ускорение — урок законы Ньютона.
3. Скорость как производная пути — урок производная: определение.
4. Все формулы под рукой — шпаргалка по механике.
5. Отдельный тренажёр по физике — тренажёр по физмеху.
6. Другие текстовые сюжеты — тип задач совместная работа.