Задачи на площадь криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции — первая задача, где определённый интеграл перестаёт быть абстракцией и начинает что-то измерять: путь, работу, выпуск продукции, площадь земельного участка с кривой межой. Формально криволинейная трапеция — фигура, ограниченная графиком функции, осью $Ox$ и двумя вертикалями $x=a$, $x=b$. Её площадь считается одним действием: $S={\int }_a^{b}f(x)dx$. Теория и определение — в уроке определённый интеграл, здесь — практика: как распознать подтип, где взять пределы и почему без чертежа почти всегда теряется балл.

Физический смысл делает тему интуитивной: интеграл скорости даёт путь, интеграл силы — работу. Экономист интегралом считает выпуск по производительности, гидравлик — расход по профилю потока. Именно поэтому задачи на площадь встречаются везде — от контрольной по матанализу до технических дисциплин. Техническая база проста: таблица интегралов из шпаргалки плюс формула Ньютона — Лейбница из термина формула Ньютона — Лейбница.

Где теряют баллы, так это в двух местах: пределы интегрирования и знак. Пределы нельзя взять «с потолка» — это точки пересечения кривых, которые находятся из уравнения $f(x)=g(x)$. А знак площади требует внимания: интеграл может выйти отрицательным, если фигура лежит под осью, и тогда площадь — это модуль или интеграл от разности с правильным порядком. Ниже — таблица распознавания, метод по шагам, два примера разных подтипов и коллекция ошибок, собранная из реальных проверенных работ.

Классификация: 4 подтипа#

Метод: пять шагов#

1. 1
   Нарисуйте чертёж и заштрихуйте искомую фигуру. Без рисунка подтип не определить — это не формальность, а рабочий инструмент.
2. 2
   Найдите пределы интегрирования: решите $f(x)=0$ (пересечения с осью) или $f(x)=g(x)$ (пересечения кривых).
3. 3
   Определите, какая кривая выше, на каждом куске: подставьте пробную точку между корнями.
4. 4
   Запишите интеграл: подынтегральная разность «верхняя минус нижняя»; если график под осью — интеграл от $-f(x)$ или от модуля.
5. 5
   Посчитайте по формуле Ньютона — Лейбница и прикиньте ответ: площадь не может быть отрицательной и должна быть правдоподобной по чертежу.

Разобранный пример 1: площадь под параболой#

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой $y=6x-x^2$ и осью $Ox$. Это первый подтип, но с предварительной работой: парабола с осью вниз пересекает ось в двух точках, и именно они станут пределами.

1. 1
   Корни: $6x-x^2=0\Rightarrow x(6-x)=0\Rightarrow x=0$ и $x=6$. Ветви вниз, значит между корнями кривая выше оси — подтип подтверждён.
2. 2
   Пределы найдены: $a=0$, $b=6$. Верхняя кривая — сама парабола, нижняя — ось $Ox$.
3. 3
   Записываем: $S={\int }_0^6(6x-x^2)dx$.
4. 4
   Первообразная: $3x^2-\frac{x^3}{3}$. Подстановка: $3\cdot 36-\frac{216}{3}=108-72=36$.
5. 5
   Проверка: вершина параболы в точке $(3,9)$, площадь треугольника с теми же краями $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 9=27<36$ — дуга выпуклая вверх, площадь больше треугольника. Сходится.

Разобранный пример 2: между двумя кривыми#

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми $y=x^2$ и $y=2x$. Здесь уже второй подтип: прямая и парабола пересекаются, и фигура зажата между ними.

1. 1
   Точки пересечения: $x^2=2x\Rightarrow x=0$ и $x=2$.
2. 2
   Какая выше? На $[0,2]$ берём пробную точку $x=1$: прямая даёт $2$, парабола $1$. Выше прямая — вычитаем из неё параболу.
3. 3
   $S={\int }_0^2(2x-x^2)dx$.
4. 4
   Первообразная $x^2-\frac{x^3}{3}$; подстановка даёт $4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$.
5. 5
   Ответ $S=\frac{4}{3}\approx 1,33$. Если бы вычли наоборот, получили бы $-\frac{4}{3}$ — отрицательная площадь мгновенно сигналит о перепутанном порядке.

Типичные ошибки#

• Пределы берут из головы, а не из уравнения $f(x)=g(x)$ — самый дорогой тип ошибки, убивающий сразу всё решение.
• Перепутан порядок вычитания: $\int (g-f)$ вместо $\int (f-g)$ даёт минус в ответе.
• Первопрообразная с ошибкой коэффициента: $\int 6xdx=6\cdot \frac{x^2}{2}=3x^2$, а не $6x^2$.
• Забыт модуль при части графика под осью — площадь выходит заниженной на весь «подводный» кусок.
• Ответ не проверен на правдоподобие: площадь в сотни квадратных единиц на чертеже размером в клетку должна насторожить.

Проверьте себя#

Что смотреть дальше#

1. Теория и доказательство — урок приложения интеграла.
2. Пошаговая схема для любых интегральных задач — разбор как решать интегралы.
3. Техника взятия интегралов — шпаргалка методов интегрирования.
4. Объём тех же фигур — тип задач объём тела вращения.
5. Отдельный тренажёр без теории — тренажёр интегралов.
6. Что происходит, когда отрезок бесконечен — термин несобственный интеграл первого рода.

Разберём приём «на глаз»: фигура под $y=4-x^2$ от $x=-2$ до $x=2$. Парабола опускается с высоты 4 до нуля, фигура похожа на колокол. Прямоугольник-обёртка имеет площадь $4\cdot 4=16$, а вписанный треугольник с теми же вершинами — ровно половину, $8$. Точный ответ $S={\int }_{-2}^2(4-x^2)dx=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}\approx 10,7$ укладывается ровно между 8 и 16 — прикидка сработала.