📈 Матанализ

Формула Ньютона—Лейбница

Q: Почему любая первообразная даёт один и тот же ответ?

Первообразные отличаются константой: $F + C$. В разности $\bigl(F(b) + C\bigr) - \bigl(F(a) + C\bigr)$ константа сокращается, поэтому ответ устойчив. Практически это освобождение: берите ту первообразную, что проще — обычно с нулевой константой. А вот пренебрегать условием $F' = f$ нельзя: ошибка в первообразной ровно во столько же раз искажает значение интеграла.

англ. Fundamental theorem of calculus

Мост между дифференциальным и интегральным исчислением: определённый интеграл равен приращению первообразной F(b) − F(a). Площадь под кривой считается без единого предельного перехода.

Формула Ньютона—Лейбница закрывает главную задачу анализа одной строкой: $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ , где $F$ — любая первообразная $f$ . Интеграл — накопление, производная — скорость; теорема связывает их так, что площадь под кривой считается без единого предельного перехода: нашёл первообразную, вычел значения на концах. В физической одежде то же самое: скорость $v (t)$ , проинтегрированная по времени, даёт путь $s (T) - s (0)$ . Контекст определённого интеграла — в уроке определённый интеграл, техника поиска первообразных — в неопределённом интеграле.

Проверим на синусе: $\int_{0}^{π} sin x d x = [- cos x]_{0}^{π} = (- cos π) - (- cos 0) = 1 + 1 = 2$ . Площадь одной арки синуса равна двум — число, которое стоит помнить. Ещё пара мгновенных ответов: $\int_{1}^{e} \frac{d x}{x} = ln e - ln 1 = 1$ — площадь под гиперболой от единицы до $e$ ровно единица; $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$ — парабола занимает треть единичного квадрата. Заготовки первообразных собраны в таблице интегралов, набить руку — в тренажёре интегралов, а автоматическая проверка — в решателе интегралов.

Три предостережения. Первое: подынтегральная функция должна быть непрерывной на отрезке — при разрыве внутри отрезок разбивают и считают кусками. Второе: для несобственных интегралов формула работает лишь после проверки сходимости; пример-ловушка $\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{x ^{2}} = [- \frac{1}{x}]_{- 1}^{1} = - 2$ даёт отрицательную площадь у положительной функции — значит, интеграл расходится и прямое применение незаконно. Третье: константа первообразной сокращается, выбор её не важен. Несобственные случаи разобраны в уроке несобственные интегралы, общее понятие — в терминах интеграл.

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a), F^{'} (x) = f (x)

приращение первообразной равно определённому интегралу — основная теорема анализа; константа C сокращается в разности

Частые вопросы

Почему любая первообразная даёт один и тот же ответ?

Первообразные отличаются константой: $F + C$ . В разности $(F (b) + C) - (F (a) + C)$ константа сокращается, поэтому ответ устойчив. Практически это освобождение: берите ту первообразную, что проще — обычно с нулевой константой. А вот пренебрегать условием $F^{'} = f$ нельзя: ошибка в первообразной ровно во столько же раз искажает значение интеграла.

Формула Ньютона—Лейбница всегда законна?

Для непрерывной функции на отрезке — всегда. Проблемы начинаются при разрывах: подынтегральная функция обязана быть хотя бы интегрируемой, а контрпример $\int_{- 1}^{1} d x / x^{2}$ формально даёт $- 2$ там, где интеграл расходится. Правило: перед подстановкой убедитесь в непрерывности на всём отрезке; если внутри особая точка — делите интеграл и исследуйте сходимость каждого куска, как в уроке несобственные интегралы.

пошагово

Решатель интегралов

Вычислить определённый интеграл по шагам

Решатель найдёт первообразную и подставит пределы — ровно то, что делает формула Ньютона—Лейбница.

Открыть решатель