Несобственный интеграл первого рода

Несобственный интеграл первого рода — интеграл по бесконечному промежутку, определяемый как предел обычных: ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx={\lim }_{A\to +\infty }{\int }_a^{A}f(x)dx$. Если предел конечен, интеграл сходится; иначе расходится. Эталонная пара: ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^2}={\left[-\frac{1}{x}\right]}_1^{+\infty }=0-(-1)=1$ — бесконечный хвост вмещает единицу площади, а ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x}$ даёт $\lim \ln A=+\infty$ — расходится, хотя подынтегральная функция убывает. Полная тема — в уроке несобственные интегралы, определение обычного интеграла — в определённый интеграл.

Скорость убывания решает всё, и шкала $p$-интегралов это формализует: ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^p}$ сходится при $p>1$ и расходится при $p\le 1$. Числа: $p=2$ даёт ответ $1$, $p=\frac{1}{2}$ — расходится как $\lim 2\sqrt{A}$, $p=1$ — гармонический хвост, $\infty$. Разница между $x^{-1}$ и $x^{-1,01}$ на глаз неотличима, а для интеграла — пропасть: хватает или нет. Экспонента $e^{-x}$ убывает быстрее любой степени и потому сходится без разговоров: ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}dx=1$. Опора всей техники — предел и понятие интеграл.

Вычислять каждый раз в лоб необязательно: признаки сравнения позволяют судить о сходимости по скорости убывания. Если $0\le f(x)\le g(x)$ и $\int g$ сходится, то и $\int f$ сходится; в предельной форме сравнивают с эталоном $\frac{C}{x^p}$ по показателю степени на бесконечности. У этой истории есть дискретный близнец — ряды: сходимость $\sum \frac{1}{n^p}$ проверяется тем же интегралом (интегральный признак Коши, страница интегральный признак). Связь обоих миров — в уроке числовые ряды, таблица интегралов — в шпаргалке.