Проекция вектора

Вектор отбрасывает на ось «тень» — её длина со знаком и есть скалярная проекция. Формально: проекция вектора $\vec{a}$ на направление вектора $\vec{b}$ — это произведение длины $\vec{a}$ на косинус угла между ними. Знак несёт информацию: сонаправленный с осью вектор даёт плюс, встречный — минус, перпендикулярный — ноль. Рядом живёт и векторная проекция — уже не число, а вектор вдоль $\vec{b}$ нужной длины. Не путать: одна отвечает на вопрос «сколько», другая — «куда и сколько».

Числовой прогон: $\vec{a}=(2;0)$, $\vec{b}=(3;4)$. Скалярное произведение $\vec{a}\cdot \vec{b}=6$, длина $\vec{b}$ равна $5$, значит проекция $6/5=1.2$. Проверка через угол: $\cos \alpha =6/(2\cdot 5)=0.6$, и $2\cdot 0.6=1.2$ — сошлось двумя способами. Полезно запомнить и обратную связь: $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{b}|\cdot {\text{пр}}_{\vec{b}}\vec{a}$ — произведение равно «длина второго множителя, умноженная на проекцию первого». Именно так работа силы считается проекцией силы на перемещение.

Геометрический смысл — рабочая лошадка физики: сила тянет сани под углом к дороге, и работу совершает лишь её проекция на направление движения. В координатах всё ещё проще: проекция на ось $x$ — просто первая координата вектора, на ось $y$ — вторая. Отсюда граница $\left|{\text{пр}}_{\vec{b}}\vec{a}\right|\le \left|\vec{a}\right|$: тень не длиннее вектора, равенство — только при параллельности. В пространстве механика та же, в скалярном произведении добавляется третья координата.

Всё, что стоит за формулой, — в уроке скалярное произведение векторов; базовые операции — в векторах и операциях, определение вектора — в глоссарии. Физическое приложение — расчёт работы и энергии, где проекция силы появляется в первой же формуле. Быстрая справка — шпаргалка векторной алгебры.