📈 Матанализ

Криволинейный интеграл

Q: Как связаны интегралы первого и второго рода?

Через косинус угла между касательной и осями: $dx = \cos\alpha\,ds$, поэтому $\int_L P\,dx = \int_L P \cos\alpha\,ds$. Иначе говоря, интеграл второго рода — интеграл первого рода от проекции поля на касательную. Отсюда же и различие в ориентации: $\cos\alpha$ меняет знак при развороте обхода, а $ds$ — нет.

Q: Когда работа поля не зависит от пути?

Когда поле потенциально в односвязной области: $\mathbf{F} = \operatorname{grad} u$, критерий — равенство $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$. Тогда $\int_L P\,dx + Q\,dy = u(B) - u(A)$, а по любому замкнутому контуру работа нулевая. Примеры из механики: сила тяжести и упругость — потенциальны, сила трения — нет, её работа зависит от длины пройденного пути.

англ. Line integral

Интеграл вдоль кривой: по длине дуги ($\int_L f\,ds$ — масса провода) и по координатам ($\int_L P\,dx + Q\,dy$ — работа векторного поля). Оба сводятся к обычному определённому интегралу параметризацией.

Криволинейный интеграл — интегрирование вдоль кривой, и у него два вида. Интеграл по длине дуги (первого рода) $\int_{L} f (x, y) d s$ берёт значения функции вдоль кривой с весом элемента длины $d s$ : кривая нарезается на кусочки длиной $Δ s_{i}$ , составляется сумма $\sum f (P_{i}) Δ s_{i}$ и берётся предел. Интеграл по координатам (второго рода) $\int_{L} P d x + Q d y$ собирает проекции вектора $F = (P, Q)$ на направление движения — это работа силового поля вдоль ориентированного пути. Ключевое различие: первый род не зависит от направления обхода, второй меняет знак при смене направления.

Интуиция — провод и ветер. Согнули проволоку в дугу $L$ , плотность материала меняется от точки к точке: $δ (x, y)$ . Масса проволоки — $\int_{L} δ d s$ : в каждом кусочке плотность умножить на длину, сложить. Теперь тащим тел вдоль пути в неоднородном силовом поле: на каждом метре сила делает работу $F \cdot d r$ , суммарно — $\int_{L} P d x + Q d y$ . Вдобавок второй род чувствует ориентацию: прошёл путь в обратную сторону — работа сменяет знак, ведь каждый $d x$ и $d y$ перевернулся. Оба интеграла сводятся к обычному определённому интегралу параметризацией кривой — техника одна и та же.

\int_{L} f (x, y) d s = \int_{a}^{b} f (x (t), y (t)) x^{'} (t)^{2} + y^{'} (t)^{2} d t; \int_{L} P d x + Q d y = \int_{a}^{b} (P x^{'} (t) + Q y^{'} (t)) d t

сведение к обычному интегралу через параметризацию

(x (t), y (t))

t \in [a; b]

; в первом роде появляется якобиан

x^{'2} + y^{'2}

— элемент длины дуги

Микропример: отрезок $L$ от $(0; 0)$ до $(1; 1)$ вдоль прямой $y = x$ , параметризация $x = t$ , $y = t$ , $t \in [0; 1]$ , при этом $d s = 1 + 1 d t = 2 d t$ . Масса провода с плотностью $δ = x + y$ : $\int_{L} (x + y) d s = \int_{0}^{1} 2 t \cdot 2 d t = 2 \cdot [t^{2}]_{0}^{1} = 2 \approx 1.414$ . Работа того же отрезка в поле $F = (2 x y, x^{2})$ : $\int_{L} 2 x y d x + x^{2} d y = \int_{0}^{1} (2 t^{2} + t^{2}) d t = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$ . Поле потенциально: $u = x^{2} y$ даёт $d u = 2 x y d x + x^{2} d y$ , значит работа по любому пути равна скачку потенциала: $u (1; 1) - u (0; 0) = 1$ — наш отрезок подтвердил без вычислений.

Техника и приложения — урок приложения определённого интеграла, параметризация и длина дуги — урок определённый интеграл. Словарь: двойной интеграл — двумерный собрат по площади, вектор — поле и перемещение, градиент — признак потенциальности: если $F = grad u$ , работа не зависит от пути. Физическая сторона работы силы — урок работа и энергия.

Частые вопросы

Как связаны интегралы первого и второго рода?

Через косинус угла между касательной и осями: $d x = cos α d s$ , поэтому $\int_{L} P d x = \int_{L} P cos α d s$ . Иначе говоря, интеграл второго рода — интеграл первого рода от проекции поля на касательную. Отсюда же и различие в ориентации: $cos α$ меняет знак при развороте обхода, а $d s$ — нет.

Когда работа поля не зависит от пути?

Когда поле потенциально в односвязной области: $F = grad u$ , критерий — равенство $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$ . Тогда $\int_{L} P d x + Q d y = u (B) - u (A)$ , а по любому замкнутому контуру работа нулевая. Примеры из механики: сила тяжести и упругость — потенциальны, сила трения — нет, её работа зависит от длины пройденного пути.

пошагово

Решатель интегралов

Свести криволинейный интеграл к обычному

Параметризация кривой — та же замена переменной: решатель покажет пересчёт дифференциалов по шагам.

Открыть решатель