Замена переменной в интеграле

Внутри интеграла мелькает знакомая картина: какая-то функция, а рядом — её производная с точностью до множителя. Считать такое произведение напрямую нечем, но стоит переименовать внутренность в новую букву $u$, как пример разваливается на табличные куски. Замена переменной — самый частый метод всего раздела: на ней держится половина домашних задач. Свою подстановку можно сверить в решателе интегралов — он показывает замену по шагам.

Идея: переименовать неудобное#

Ищите в примере пару «функция и её производная». Производная обязана присутствовать как множитель — пусть с числовым коэффициентом. В $\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx$ функция — это $\sqrt{x}$, а множитель $\frac{1}{\sqrt{x}}$ — её производная с точностью до двойки. Сигнал считан: берём $u=\sqrt{x}$.

Алгоритм: четыре шага#

1. 1
   Найдите внутреннюю функцию $u=\phi (x)$, производная которой торчит в примере множителем.
2. 2
   Выпишите дифференциал $du={\phi }^{\prime }(x)dx$ и подставьте его вместо соответствующего куска — коэффициент не потеряйте.
3. 3
   Доведите подстановку до конца: в интеграле по $u$ не должно остаться ни одного $x$. Остался — выразите $x$ через $u$ или смените замену.
4. 4
   Проинтегрируйте по $u$ и верните $u=\phi (x)$. В определённом интеграле вместо возврата пересчитайте пределы.

Флагманский пример#

Считаем $\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx$. Замена $u=\sqrt{x}$ даёт $du=\frac{dx}{2\sqrt{x}}$, то есть $\frac{dx}{\sqrt{x}}=2du$. Интеграл превращается в $\int e^u\cdot 2du=2e^u+C$. Возврат: $2e^{\sqrt{x}}+C$. Проверка дифференцированием: ${\left(2e^{\sqrt{x}}\right)}^{\prime }=2e^{\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ — совпало. Одна замена съела и экспоненту, и корень.

Определённый интеграл: пределы переезжают вместе с заменой#

В определённом интеграле ответ не обязан возвращаться к $x$: пересчитайте границы по замене и работайте дальше в $u$. Константа не пишется, возврата нет.

Число $\ln \frac{3}{2}\approx 0,405$ — и никакого возврата к $x$. Подставить старые пределы в новый интеграл — значит посчитать ответ от другой задачи: это самая дорогая ошибка метода.

Три типовые ошибки#

• Потерять коэффициент. При $u=x^2$ дифференциал равен $2xdx$; если в примере стоит $xdx$, перед интегралом появляется $\frac{1}{2}$, а не ничего.
• Оставить $x$ под интегралом по $u$. Запись вида $\int u{e}^{x}du$ — признак недоделанной подстановки: выразите $x$ через $u$.
• Подставить старые пределы после замены. В определённом интеграле границы пересчитываются по формуле замены — и только так.