Интегрирование дробно-рациональных функций

Дробь $\frac{x+5}{x^2-x-2}$ в интеграле пугает: ни в одной табличной строке такого нет. У рациональных дробей есть свойство, которое спасает: любую из них можно разобрать на сумму простейших кусков, а каждый кусок интегрируется логарифмом, степенью или арктангенсом. Метод почти целиком алгебраический — вся основная работа делается ещё до интегрирования.

Идея: разобрать дробь до простейших#

Сначала проверьте дробь на правильность: степень числителя должна быть ниже степени знаменателя. Неправильную поделите с остатком — целую часть интегрируйте отдельно. Затем разложите знаменатель на линейные множители и квадратичные куски с отрицательным дискриминантом. Каждому корню отвечает своя дробь, каждой кратности — своя степень.

Алгоритм: шесть шагов#

1. 1
   Проверьте правильность дроби; неправильную поделите уголком — останется многочлен плюс правильная дробь.
2. 2
   Разложите знаменатель на множители: $(x-a)$, кратные степени и квадратичные с $D<0$.
3. 3
   Выпишите набор простейших: по одной дроби на каждый множитель и каждую его кратность.
4. 4
   Приведите сумму к общему знаменателю и приравняйте числители.
5. 5
   Найдите коэффициенты — подстановкой удобных $x$ (корней знаменателя) или приравниванием коэффициентов.
6. 6
   Проинтегрируйте каждый кусок: логарифм, минус степень, арктангенс — и соберите ответ.

Флагманский пример#

Разбираем $\int \frac{x+5}{x^2-x-2}dx$. Знаменатель: $(x-2)(x+1)$ — два простых корня. Раскладываем: $\frac{x+5}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}$. После приведения к общему знаменателю: $x+5=A(x+1)+B(x-2)$. Подстановка $x=2$ даёт $7=3A$, то есть $A=\frac{7}{3}$; подстановка $x=-1$ даёт $4=-3B$, то есть $B=-\frac{4}{3}$.

Интегрируем: $\frac{7}{3}\int \frac{dx}{x-2}-\frac{4}{3}\int \frac{dx}{x+1}=\frac{7}{3}\ln |x-2|-\frac{4}{3}\ln |x+1|+C$. Дроби с линейными знаменателями можно свернуть в один логарифм отношения — компактнее, но не обязательно.

Квадратичный знаменатель: арктангенс#

Кусок с $x^2+px+q$ при $D<0$ не разлагается на корни — и не нужно. Дробь $\frac{Mx+N}{x^2+px+q}$ расщепляется на «производную знаменателя» и «константу»: первая часть даёт логарифм, вторая после полного квадрата — арктангенс. Живой расчёт: $\int \frac{3x+1}{x^2+2x+5}dx$. Производная знаменателя — $2x+2$, значит $3x+1=\frac{3}{2}(2x+2)-2$.

Получаем $\frac{3}{2}\ln \left(x^2+2x+5\right)-2\int \frac{dx}{(x+1{)}^2+4}$. Последний кусок — табличный арктангенс с $a=2$: $-2\cdot \frac{1}{2}\arctan \frac{x+1}{2}=-\arctan \frac{x+1}{2}$. Ответ: $\frac{3}{2}\ln \left(x^2+2x+5\right)-\arctan \frac{x+1}{2}+C$. Логарифм здесь без модуля: квадратичный кусок с $D<0$ строго положителен.

Три типовые ошибки#

• Разложить дробь до проверки правильности. При степени числителя не ниже степени знаменателя разложение не сойдётся — сначала деление с остатком.
• Забыть кратность: у корня $(x+1{)}^3$ должно быть три слагаемых — $\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1{)}^2}+\frac{C}{(x+1{)}^3}$.
• Приравнять числители без общего знаменателя: слагаемые вида $\frac{A}{x-2}$ и $\frac{B}{x+1}$ нужно сначала привести, иначе уравнение не имеет смысла.