Интегрирование дробно-рациональных функций: алгоритм и примеры

$\int \frac{dx}{x^2-1}$ — ни одна строка таблицы на это не отвечает напрямую. Зато у рациональных дробей есть то, чего нет почти ни у какого другого класса функций: алгоритм с гарантией. Любая дробь из многочленов интегрируется в элементарных функциях — логарифмах, арктангенсах и степенях. Нужно только пройти три шага, не перескакивая. Теория здесь не загадка, а инструкция.

Шаг первый: правильная ли дробь#

Дробь $\frac{P(x)}{Q(x)}$ называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. $\frac{x+1}{x^2-1}$ — правильная (степени 1 и 2), $\frac{x^3+1}{x-1}$ — неправильная (3 против 1). Неправильную дробь интегрировать бессмысленно: сначала делим числитель на знаменатель с остатком, как в школе столбиком. Из остатка выйдет правильная дробь, из частного — многочлен, который интегрируется по таблице.

1. 1
   Делим старшие члены: $x^3:x=x^2$; умножаем $x^2(x-1)=x^3-x^2$ и вычитаем — остаётся $x^2+1$
2. 2
   Повторяем: $x^2:x=x$; $x(x-1)=x^2-x$; разность $x+1$
3. 3
   Ещё раз: $x:x=1$; $1\cdot (x-1)=x-1$; остаток $2$
4. 4
   Итог деления: $x^3+1=(x-1)(x^2+x+1)+2$ — проверка умножением сходится: $(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$, плюс остаток $2$
5. 5
   Интеграл распадается: $\int (x^2+x+1)dx+\int \frac{2dx}{x-1}=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x+2\ln |x-1|+C$

Обратите внимание на проверку в четвёртом шаге: произведение частного на делитель плюс остаток обязано вернуть числитель. Деление с остатком — самое ошибкоопасное место всего алгоритма, и одна строка проверки стоит потраченной минуты.

Шаг второй: простейшие дроби#

Правильная дробь раскладывается в сумму простейших. Их четыре вида:

• $\frac{A}{x-a}$ — простой корень знаменателя, интеграл $A\ln |x-a|+C$
• $\frac{A}{(x-a{)}^k}$ — кратный корень, интегрируется как степень: $\frac{A}{1-k}\cdot (x-a{)}^{1-k}+C$
• $\frac{Ax+B}{x^2+px+q}$ — квадратный трёхчлен без корней (дискриминант отрицателен), после полного квадрата даёт арктангенс и логарифм
• $\frac{Ax+B}{(x^2+px+q{)}^k}$ — тот же трёхчлен в степени, самый трудоёмкий случай

Ключевая теорема, которую обычно принимают без доказательства: всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших, и разложение единственно. Каждый простой корень знаменателя вносит слагаемое $\frac{A}{x-a}$, каждый кратный корень — набор из $k$ слагаемых со степенями $1$ до $k$, каждый «нефакторизуемый» трёхчлен — дробь с линейным числителем. Остаётся научиться находить числа $A$, $B$.

Шаг третий: метод неопределённых коэффициентов#

Классический пример. Разложим $\frac{1}{(x-2)(x-3)}$. Пишем гипотезу: $\frac{1}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}$. Умножаем обе части на знаменатель: $1=A(x-3)+B(x-2)$. Равенство должно выполняться при всех $x$ — подставим корни знаменателя и обнулим лишние слагаемые. При $x=2$: $1=-A$, значит $A=-1$. При $x=3$: $1=B$. Готово:

Та же механика даёт знаменитый интеграл $\int \frac{dx}{x^2-1}$. Знаменатель раскладывается: $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Гипотеза $\frac{1}{x^2-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$, умножение на знаменатель: $1=A(x+1)+B(x-1)$. Подстановка $x=1$ даёт $A=\frac{1}{2}$, подстановка $x=-1$ даёт $B=-\frac{1}{2}$. Интегрируем по табличной строке логарифма и собираем два логарифма в один:

Квадратный трёхчлен без корней: полный квадрат

Если знаменатель имеет отрицательный дискриминант, разложить его на линейные множители не выйдет — и не нужно. Трёхчлен $x^2+2x+5$ превращается в ${\left(x+1\right)}^2+4$ выделением полного квадрата. Замена $t=\frac{x+1}{2}$ приводит интеграл $\int \frac{dx}{x^2+2x+5}$ к табличному арктангенсу:

Логарифмы и арктангенсы — два конечных пункта путешествия по рациональным дробям. Всё разнообразие алгоритма сводится к их комбинациям да к степеням при знаменателях.

Небольшая экономия времени: если у знаменателя есть корни, подставляйте их по очереди — каждый обнуляет все слагаемые, кроме одного. Систему уравнений собирать нужно лишь тогда, когда «вещественных подсказок» меньше, чем неизвестных: например, при комплексных корнях или линейном числителе у простейшей дроби. Приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях $x$ — универсальный, но более долгий путь.

Зачем всё это за пределами задачника? Рациональные дроби всплывают при решении линейных дифференциальных уравнений (см. термин дифференциальное уравнение), при вычислении объёмов и в теории рядов как источник разложений. Алгоритм с гарантией — редкая роскошь в анализе, поэтому на нём останавливаются подробно в любом вузе.

Мостик дальше: определённый интеграл от рациональной дроби считается той же первообразной плюс формула Ньютона-Лейбница — читайте в уроке определённый интеграл. Предыдущий материал — метод замены и интегрирование по частям. Таблица строк, на которые опирается алгоритм, — в шпаргалке по интегралам, а задачи на разложение — в тренажёре.

Полный прогон: от гипотезы до числа#

Соберём алгоритм в одну задачу: вычислить $\int \frac{3x+5}{(x-1)(x+1)}dx$. Дробь правильная, знаменатель распадается на два простых корня — пишем гипотезу $\frac{3x+5}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$ и умножаем на знаменатель: $3x+5=A(x+1)+B(x-1)$. Подстановка $x=1$ обнуляет слагаемое с $B$: $8=2A$, откуда $A=4$. Подстановка $x=-1$ убирает $A$: $2=-2B$, то есть $B=-1$. Два хода вместо системы уравнений.

Интеграл распадается на два табличных логарифма — строки из урока про неопределённый интеграл: $4\ln |x-1|-\ln |x+1|+C$. Проверка производной обязательна: $\frac{4}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{4(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x+5}{(x-1)(x+1)}$ — сошлось. Теперь число: отрезок $[2,4]$ не задевает точки разрыва $x=\pm 1$, и по формуле Ньютона-Лейбница выходит $F(4)-F(2)=(4\ln 3-\ln 5)-(4\ln 1-\ln 3)=5\ln 3-\ln 5=\ln \frac{243}{5}\approx 3.88$. Ответ некрасивый — и это нормально: красота метода в гарантии, а не в цифрах.

1. дробь неправильная? Делим с остатком — и работаем уже с правильной
2. знаменатель раскладываем на множители; трёхчлен без корней оставляем цельным
3. корень кратности $k$ — это $k$ слагаемых со степенями от $1$ до $k$
4. коэффициенты ищем подстановкой корней, а что осталось — приравниванием степеней
5. проверка производной и контрольная точка закрывают задачу без споров с ответом

Как быстро прикинуть объём работы заранее? Посчитайте множители знаменателя: каждый вносит своё слагаемое, и если в гипотезе вышло три неизвестных, а вещественных корней только один — готовьтесь к приравниванию коэффициентов по степеням. Время тоже предсказуемо: знаменатель из линейных множителей — минута дела, квадратичный множитель с полным квадратом и заменой — вдвое дольше. А когда алгоритм смущает своей механистичностью, вспомните обратную сторону: интеграл от произвольной функции почти никогда не берётся в элементарных функциях, и рациональные дроби — тот редкий класс, где ответ гарантирован всегда. На этом фоне даже скучный алгоритм выглядит роскошью.