🧭 ТФКП

Дробно-линейная функция

англ. Linear fractional (Möbius) function

Функция w = (az + b)/(cz + d) с ненулевым определителем ad − bc: сдвиг, поворот, растяжение и инверсия в одной формуле; окружности переходят в окружности.

Шестерёнки редуктора: каждая простая — сдвиг, поворот, растяжение, инверсия, — а на выходе одно сложное преобразование. Так устроена дробно-линейная функция $w = (a z + b) / (cz + d)$ . Условие $a d - b c \neq = 0$ не декорация: при нулевом определителе дробь вырождается в константу и ничего не отображает. Дополните плоскость единственной бесконечно удалённой точкой — и функция станет взаимно однозначным преобразованием всей расширенной плоскости, а её полюс $z = - d / c$ уедет в бесконечность. Проверьте: у $w = 1/ z$ начало координат отображается в бесконечно удалённую точку, и наоборот.

Фирменный факт: окружности и прямые — единое семейство «окружностей» расширенной плоскости — переходят в окружности и прямые. Углы сохраняются всюду, кроме полюса, где конформность восстанавливается уже на бесконечности. Три пары точек задают преобразование однозначно: ангармоническое отношение не меняется. Коэффициенты собираются в матрицу, и композиция превращается в умножение матриц — механика в уроке матрицы и операции, определитель $a d - b c$ — в материале определители, арифметика — в термине комплексное число, класс применения — в конформных преобразованиях.

w = \frac{a z + b}{cz + d}, a d - b c \neq = 0, w = \frac{1}{z} — инверсия с отражением

дробно-линейное преобразование: при

a d - b c \neq = 0

задаёт взаимно однозначное отображение расширенной плоскости на себя; окружности и прямые переходят в окружности и прямые

Частые вопросы

Почему дробно-линейная функция переводит окружности в окружности?

Разложите её в цепочку из четырёх простых ходов: сдвиг, поворот с растяжением, инверсия $1/ z$ и снова сдвиг. Первые два шага переводят окружности в окружности очевидно, а инверсию проверяют подстановкой: уравнение окружности или прямой после замены $z = 1/ w$ сводится к уравнению того же вида. Прямая — просто окружность, проходящая через бесконечно удалённую точку, поэтому семейство закрывается целиком.

Сколько точек задают дробно-линейное преобразование?

Ровно три пары соответствий: образы трёх различных точек определяют коэффициенты однозначно — при умножении $a, b, c, d$ на общий множитель дробь не меняется, и свободных параметров ровно три. Практический рецепт — ангармоническое отношение, записываемое как равенство $\frac{( w - w _{1} ) ( z _{2} - z _{3} )}{( w - w _{3} ) ( z _{2} - z _{1} )} = \frac{( z - z _{1} ) ( z _{2} - z _{3} )}{( z - z _{3} ) ( z _{2} - z _{1} )}$ : подставьте точки и выразите $w$ . Проверьте: двух точек мало — остаётся целое семейство преобразований на выбор.