Аналитические функции и условия Коши-Римана

До сих пор мы работали с числами. Теперь — с функциями: $w=f(z)$, где и аргумент, и значение комплексные. Внешне всё знакомо: есть $f(z)=z^2$, есть $f(z)=e^z$, есть производная. Но за знакомой витриной прячется сюрприз: комплексная дифференцируемость во много раз требовательнее вещественной. Функция $|z{|}^2$ в каждой точке вещественно гладкая, а комплексно дифференцируемая только в одной-единственной точке. Разбираемся, почему.

Функция как отображение плоскости#

Комплексная функция — это правило, которое каждому $z=x+iy$ ставит в соответствие $w=u+iv$. Значит, фактически функция задаётся двумя вещественными функциями двух переменных: $u(x,y)$ — вещественная часть, $v(x,y)$ — мнимая:

Пример: $f(z)=z^2=(x+iy{)}^2=x^2-y^2+2ixy$. Здесь $u=x^2-y^2$, $v=2xy$. Геометрически $f$ — отображение одной плоскости на другую: точка переходит в точку, кривая — в кривую. Ниже интерактивная комплексная плоскость покажет, как окружности переплетаются под действием $z^2$.

Предел и непрерывность переносятся с вещественного анализа почти дословно: ${\lim }_{z\to z_0}f(z)=w_0$, если $|f(z)-w_0|$ можно сделать сколь угодно малым при $|z-z_0|<\delta$. Одно принципиальное «но»: $z$ теперь может подходить к $z_0$ по любому пути — по спирали, по ломаной, по кругу. Требование сходимости по всем путям сразу жёстче вещественного. Определение предела через эпсилон-дельта освежите в словарной статье о пределе.

Производная: одна формула, но какая#

Формально всё как в производной вещественной функции:

Но посмотрите внимательно на $\Delta z$ — это комплексное приращение, и оно может стремиться к нулю с любой стороны: справа, сверху, по окружности, зигзагом. Для существования предела все подходы обязаны дать одно и то же число. В вещественном случае подходов всего два (слева и справа), и даже они иногда расходятся. Здесь же — бесконечное семейство путей.

Это условие настолько сильное, что выполнение производной в каждой точке окрестности превращает функцию в объект почти жёсткой конструкции. Функцию, имеющую производную в окрестности точки, называют аналитической (или голоморфной) в этой точке; аналитическая во всей области — аналитическая в области. Проверка дифференцируемости «в лоб», через предел, утомительна. К счастью, есть критерий попроще.

Условия Коши-Римана#

Теорема (Коши, Риман). Пусть $u(x,y)$ и $v(x,y)$ дифференцируемы в точке. Тогда $f=u+iv$ дифференцируема в комплексном смысле тогда и только тогда, когда в этой точке выполнены два равенства частных производных:

Их называют условиями Коши-Римана. Мнемоника: производные по «своей» переменной связаны со знаком плюс, по «чужой» — с минусом и перестановкой ролей. Когда условия выполнены, производная считается по любой из четырёх формул:

Откуда они берутся? Подойдём к приращению по горизонтали ($\Delta z=\Delta x$) и по вертикали ($\Delta z=i\Delta y$). Горизонтальный подход даёт $f^{\prime }=u_x+i{v}_x$, вертикальный — $f^{\prime }=v_y-i{u}_y$. Приравнивая вещественные и мнимые части, получаем ровно пару Коши-Римана. Красивая логика: два обязательных пути подхода порождают два обязательных уравнения.

Критерий удобно применять по инструкции из четырёх шагов: выделить $u$ и $v$; найти четыре частные производные; сравнить по условиям; при успехе записать производную формулой $f^{\prime }=u_x+i{v}_x$. Ниже — сводная таблица вердиктов по самым популярным функциям. Обратите внимание на третий столбец: непрерывность и бесконечная гладкость по вещественным меркам ничего не гарантируют.

Проверяем на примерах

1. 1
   Разложение: $u=x^2-y^2$, $v=2xy$
2. 2
   Производные: $u_x=2x$, $v_y=2x$ — первое условие выполнено
3. 3
   Вторая пара: $u_y=-2y$, $v_x=2y$ — условие $u_y=-v_x$ выполнено
4. 4
   Производная: $f^{\prime }=u_x+i{v}_x=2x+2iy=2z$ — как и ожидалось

Теперь антипример, который любят на экзаменах: $f(z)=\bar{z}=x-iy$. Здесь $u=x$, $v=-y$. Условия Коши-Римана: $u_x=1$ против $v_y=-1$ — не совпало ни в одной точке. Функция $\bar{z}$ непрерывна везде и дифференцируема нигде. Грубо говоря, сопряжение — это отражение, а отражение меняет ориентацию плоскости, чего аналитическая функция (при $f^{\prime }\ne 0$) делать не умеет.

1. 1
   Раскрываем куб: $(x+iy{)}^3=(x^3-3x{y}^2)+i(3x^{2}y-y^3)$, значит $u=x^3-3x{y}^2$, $v=3x^{2}y-y^3$
2. 2
   Производные по $x$: $u_x=3x^2-3y^2$, $v_x=6xy$
3. 3
   Производные по $y$: $u_y=-6xy$, $v_y=3x^2-3y^2$ — совпадает с $u_x$, первое условие выполнено
4. 4
   Вторая пара: $u_y=-6xy=-v_x$ — условие выполнено
5. 5
   Производная: $f^{\prime }=u_x+i{v}_x=3x^2-3y^2+6ixy=3z^2$ — всё честно

Ещё один показательный случай: $f(z)=|z{|}^2=x^2+y^2$. Тогда $u=x^2+y^2$, $v=0$. Условия требуют $2x=0$ и $2y=0$ — то есть дифференцируемость только в точке $z=0$. Производная там равна нулю, но аналитичности нет: для неё нужна окрестность дифференцируемости, а вокруг нуля условия рушатся. Точка — не окрестность.

Что даёт аналитичность#

Зачем гоняться за этим свойством? Из-за наград. Аналитическая функция в области:

• бесконечно дифференцируема: первая производная тянет за собой все остальные
• раскладывается в степенной ряд Тейлора вокруг каждой точки области (в уроке о рядах Тейлора и Лорана это станет главным героем)
• имеет вещественную и мнимую части, связанные жёстче, чем кажется: обе они гармонические, то есть удовлетворяют уравнению Лапласа $u_{xx}+u_{yy}=0$
• сохраняет углы между кривыми при отображении там, где $f^{\prime }(z)\ne 0$, — это свойство называется конформностью

Проверим гармоничность на $u=x^2-y^2$ из $z^2$: $u_{xx}=2$, $u_{yy}=-2$, сумма ноль. Совпадение? Нет — уравнение Лапласа описывает стационарное тепло, электростатические потенциалы и течение идеальной жидкости. Поэтому ТФКП — не экзотика, а родной язык двумерной физики: любую аналитическую функцию можно читать как описание некоторого потенциального течения.

Ещё два факта о классе аналитических функций, которые стоит держать в голове. Первый: класс замкнут относительно арифметики и композиции — сумма, разность, произведение, частное (вне нулей знаменателя) и композиция аналитических функций аналитичны. Поэтому любая рациональная функция — отношение многочленов — аналитична всюду, кроме нулей знаменателя, и вся дальнейшая теория полюсов строится именно на этом. Второй: в полярных координатах условия Коши-Римана принимают вид $u_r=\frac{1}{r}{v}_{\phi }$ и $v_r=-\frac{1}{r}{u}_{\phi }$ — они удобны для функций вида $z^n$, где аргумент входит углом.

Конформность видна в интерактиве выше: $z^2$ удваивает углы в нулевой точке (там $f^{\prime }=0$ — конформность ломается, угол между кривыми удваивается), а в остальных точках углы сохраняются. Именно поэтому аналитические функции с ненулевой производной — основной инструмент конформных отображений, от картографических проекций до построения профиля крыла Жуковского.

Итог урока: комплексная производная — не мелкая модификация вещественной, а совсем другой сорт. Условия Коши-Римана — пропуск в клуб аналитических функций, а клуб даёт массу привилегий: бесконечную гладкость, ряды, гармоничность, сохранение углов. Следующая остановка — элементарные функции: экспонента, синус, логарифм и самый знаменитый результат $i^i$. Для тех, кто хочет глубже понять, как строится сам аппарат предела, — статья о пределе функции и разбор производной в словаре.