Ряды Тейлора и Лорана в комплексной области

Вещественный ряд Тейлора — джентльменское соглашение: функция похожа на многочлен возле точки, но гарантий мало, радиус сходимости — загадка. В комплексной области всё встаёт на свои места: аналитическая функция раскладывается в ряд обязательно, радиус сходимости читается с чертежа — это расстояние до ближайшей особенности. А рядом живёт старший брат, у которого нет вещественного аналога: ряд Лорана, способный описывать функцию возле полюсов.

Степенные ряды: короткое напоминание#

Степенной ряд — сумма ${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n(z-z_0{)}^n$. Его поведение описывает теорема Абеля: есть число $R\ge 0$ — радиус сходимости — такое, что внутри круга $|z-z_0|<R$ ряд сходится абсолютно, снаружи расходится, на границе — всё что угодно. Число $R$ находят по признаку Даламбера или Коши: $R=\lim |c_n/c_{n+1}|$, когда предел существует. Что такое сходимость ряда в принципе — напомнит словарная статья.

Внутри круга сходимости степенной ряд ведёт себя образцово: его можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, радиус при этом не меняется. Ключевое следствие: сумма степенного ряда аналитична. Обратное тоже верно, и это — теорема Тейлора.

Ряд Тейлора: гарантия вместо надежды#

Теорема Тейлора (для ТФКП). Если $f$ аналитична в круге $|z-z_0|<R$, то в этом круге она представляется рядом

Разница с вещественным анализом принципиальна. Там формально ряд можно написать, а он не обязан сходиться к функции. Здесь, пока $f$ аналитична в круге, равенство — гарантированное, до последнего слагаемого. Доказательство опирается на интегральную формулу Коши из урока об интегралах: геометрическую прогрессию $\frac{1}{1-w}=\sum w^n$ раскручивают прямо в ядре интеграла.

И радиус сходимости теперь физически осмыслен: $R$ равен расстоянию от центра $z_0$ до ближайшей особой точки функции. Пример: $f(z)=\frac{1}{1-z}$. Единственная особенность — полюс в $z=1$. Разложение вокруг нуля обязано иметь $R=1$, и действительно:

Никакой мистики в расходимости при $z=1$: там функция взрывается, дальше сходиться нечему. А вот разложение вокруг $z_0=1/2$ получит радиус $R=1/2$ — до полюса в единице рукой подать. Переключите ползунок в интерактиве и посмотрите, как частичные суммы догоняют функцию внутри круга и срываются у его края.

Таблица разложений, без которых никуда

Техника работы с таблицей — та же, что в вещественном анализе: подстановка, замена, арифметика. Пример: $\frac{1}{2-z}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-z/2}={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{z^n}{2^{n+1}}$, сходится при $|z/2|<1$, то есть $|z|<2$ — расстояние до полюса в двойке. Написали ответ и радиус за одно действие.

Ряд Лорана: степени во все стороны#

А что делать, если функция испорчена — имеет особую точку, и круг Тейлора вокруг неё невозможен? Ответ дал Пьер Альфонс Лоран в 1843 году: разложение не по кругу, а по кольцу $r<|z-z_0|<R$, с двумя хвостами:

Главную часть тянут отрицательные степени — от них и зависит всё самое интересное. Правильная часть — обычный степенной ряд, она отвечает за аналитичность в кольце. Коэффициенты, как и у Тейлора, считаются интегралом: $c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint \frac{f(\xi )}{(\xi -z_0{)}^{n+1}}d\xi$ по любому контуру внутри кольца. Но на практике почти всегда разложение собирают из табличных рядов, а не интегралом.

Простейший пример: $f(z)=\frac{e^z}{z}$. Делим табличный ряд экспоненты на $z$:

Получилось разложение в кольце $0<|z|<\infty$ — вся плоскость с выколотым нулём. Главная часть состоит из одного слагаемого $1/z$.

Три кольца одной функции#

Разложение зависит от кольца — это надо прочувствовать. Берём $f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}=\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}$ и раскладываем в трёх областях. Инструмент везде один: геометрическая прогрессия, только меняем, что считать «малым».

Проверьте верхнюю строку числом: при $z=0$ сумма ряда должна дать $f(0)=1/2$. Первый член ряда $n=0$: $1-1/2=1/2$, а остальные члены обнуляются на нуле. Сошлось. Средняя строка содержит оба хвоста: отрицательные степени от полюса в единице и положительные от полюса в двойке.

Главная часть = паспорт особой точки#

Зачем всё это? Ряд Лорана даёт мгновенную классификацию изолированной особой точки $z_0$:

1. Устранимая особенность: главной части нет, все $c_{-n}=0$. Функция ограничена возле точки; доопределили одним значением — и снова аналитична. Пример: $\frac{\sin z}{z}$ в нуле, предел $1$.
2. Полюс порядка $m$: главная часть конечна и кончается членом $c_{-m}(z-z_0{)}^{-m}$. Пример: $\frac{e^z}{z}$ — полюс первого порядка (простой полюс).
3. Существенная особенность: главная часть бесконечна. Пример: $e^{1/z}=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2!z^2}+\dots$ возле нуля. По теореме Пикара такие точки принимают все комплексные значения (кроме, возможно, одного) в любой окрестности.

Коэффициент $c_{-1}$ из главной части имеет собственное имя — вычет, — и в следующем уроке мы научимся собирать интегралы по контурам прямо из этих коэффициентов. Никакого нового аппарата: ряд Лорана и интегральная формула Коши уже дали всё необходимое.

Итог: Тейлор работает в круге и требует аналитичности, Лоран — в кольце и терпит особые точки. Радиус сходимости Тейлора — расстояние до ближайшей беды, а главная часть Лорана — анкета особенности: нет главной части — устранимая, конечная — полюс, бесконечная — существенная. Словарная статья существенно особая точка закрепляет классификацию. Дальше эти сведения конвертируются в технику вычисления интегралов — вычеты и их применения. Тем, кто хочет вспомнить, как устроен ряд Тейлора в вещественном мире, — урок матанализа о формуле Тейлора.

Умножение рядов: разложение $\dfrac{e^z}{1 + z}$

1. 1
   Оба табличных ряда сходятся при $|z|<1$, значит и произведение живёт там же — радиус задаёт ближайший полюс $z=-1$
2. 2
   Перемножаем $e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\dots$ и $\frac{1}{1+z}=1-z+z^2-\dots$
3. 3
   Свободный член: $1$. Коэффициент при $z$: $-1+1=0$. При $z^2$: $1-1+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
4. 4
   Итог: $\frac{e^z}{1+z}=1+0\cdot z+\frac{1}{2}{z}^2+\dots$ — нечётные коэффициенты обнулились

Проверка здравым смыслом: подставим $z=0,1$. Функция даёт $\frac{e^{0,1}}{1,1}\approx \frac{1,1052}{1,1}\approx 1,0047$. Ряд: $1+0,005=1,005$ уже с двумя членами — сходится стремительно, как и положено внутри круга радиуса 1. Заодно проверили и радиус: при $z=1,1$ знаменатель ещё жив, но ряд уже не обязан сходиться — граница на месте.

Тот же приём почленного деления раскладывает и «жестокие» дроби вида $\frac{1}{z^2+1}$: выделили множитель $\frac{1}{1+z^2}=1-z^2+z^4-\dots$ при $|z|<1$, умножили на остаток — и коэффициенты собраны. Радиус снова читается с чертежа: до мнимых полюсов $\pm i$ ровно единица.