Вычеты и их применения: интегралы за один ход

Финальный аккорд курса звучит обманчиво скромно: интеграл от аналитической функции по замкнутому контуру равен $2\pi i$, умноженному на сумму коэффициентов при $1/(z-z_0)$ в разложениях. Эти коэффициенты называют вычетами. Из этой одной строчки вырастает техника, которая за три действия берёт интегралы, наводившие ужас в XVIII веке, — и до сих пор закрывает половину билетных задач ТФКП.

Определение вычета#

Пусть $z_0$ — изолированная особая точка функции $f$: в некотором кольце $0<|z-z_0|<R$ функция аналитична, а в самой точке — нет. Разложим $f$ в ряд Лорана:

Вычет — коэффициент при минус первой степени. Почему именно он? Вспомним вычисление из урока об интегралах: $\oint (z-z_0{)}^{n}dz$ по окружности вокруг $z_0$ равен $2\pi i$ при $n=-1$ и нулю для всех остальных $n$. Интегрирование ряд почленно обнуляет всё, кроме одного члена:

Вся бесконечная сумма степеней спрессовывается в одно число — вычет. Символ $\mathrm{Res}$ происходит от латинского residuum — «остаток»: Коши называл так то, что остаётся от интеграла после обнуления всех честных степеней. Официозная форма определения — через сам интеграл: ${\mathrm{Res}}_{z=z_0}f=\frac{1}{2\pi i}\oint fdz$; она эквивалентна коэффициентной.

Как вычислять вычеты без ряда Лорана#

Выписывать ряд каждый раз необязательно. Для полюсов есть формулы-ускорители. Простой полюс (первого порядка): главная часть состоит из одного члена, и вычет ловится пределом:

Практика: $f(z)=\frac{e^z}{z-1}$, точка $z_0=1$. Умножаем на $(z-1)$, получаем $e^z$, подставляем: $\mathrm{Res}=e$. Для дробей вида $\frac{g(z)}{h(z)}$ с простым нулём знаменателя есть ещё короче: вычет равен $\frac{g(z_0)}{h^{\prime }(z_0)}$. Например, для $\frac{1}{z^2+1}$ в точке $i$: знаменатель $h(z)=z^2+1$, $h^{\prime }(z)=2z$, вычет $=\frac{1}{2i}=-\frac{i}{2}$.

Полюс порядка $m$ требует дифференцирования:

Пример: $f(z)=\frac{e^z}{z^3}$ в нуле — полюс третьего порядка. Умножаем на $z^3$: остаётся $e^z$. Вторая производная: $e^z$. Делим на $2!$: вычет равен $1/2$. Сверим с рядом Лорана: $\frac{e^z}{z^3}=\frac{1}{z^3}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{2z}+\dots$ — коэффициент при $1/z$ действительно $1/2$. Два способа, один ответ — хорошая привычка.

Отдельная история — вычет в бесконечности. Для функции, аналитической в окрестности бесконечности, определяют ${\mathrm{Res}}_{z=\infty }f=-c_{-1}$ разложения по степеням $1/z$ — с минусом, потому что ориентация обхода вокруг бесконечности противоположная. Полезное следствие: сумма вычетов по всем точкам расширенной плоскости равна нулю. Это удобная проверка: у $\frac{1}{z^2+1}$ вычеты в $i$ и $-i$ равны $-\frac{i}{2}$ и $\frac{i}{2}$ — сумма ноль, всё честно.

Основная теорема о вычетах#

Соберём урожай. Пусть $f$ аналитична внутри замкнутого контура $C$ и на нём, кроме конечного числа особых точек $z_1,\dots ,z_k$ внутри. Тогда:

Идея доказательства прозрачна: окружим каждую особую точку маленькой окружностью, разрежем область между ними — по теореме Коши интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по малым окружностям (обходы согласованы), а каждый малый интеграл — это $2\pi i$ умножить на соответствующий вычет. Никакой магии, только теорема Коши плюс определение.

Пример в один ход: ${\oint }_{|z-i|=1/2}\frac{dz}{z^2+1}$. Внутри контура особая точка $i$ — она центр окружности, вычет $-\frac{i}{2}$ — интеграл $2\pi i\cdot (-\frac{i}{2})=\pi$. Точка $-i$ снаружи: её расстояние до центра $|-i-i|=2$, а радиус только $1/2$ — взнос не платит. Раньше для этого понадобилась бы интегральная формула Коши, теперь — таблица вычетов.

Приложение номер один: интегралы по отрезку#

Самая эффектная часть теории — вычисление вещественных интегралов. Схема: достроить интеграл по прямой до контура на плоскости, посчитать вычеты, вернуть назад. Разберём эталон:

Обратите внимание на пятый шаг — он обязателен в каждом решении: нужно доказать, что добавка по дуге исчезает при $R\to \infty$. Для рациональных функций со степенью знаменателя хотя бы на два больше степени числителя это делается оценкой модуля. Забыть эту проверку — типовая ошибка на экзамене.

Второй шаблон — интегралы вида ${\int }_0^{2\pi }R(\cos t,\sin t)dt$. Замена $z=e^{it}$ превращает окружность в единичную, а тригонометрию — в рациональность: $\cos t=\frac{z+z^{-1}}{2}$, $\sin t=\frac{z-z^{-1}}{2i}$, $dt=\frac{dz}{iz}$. Результат — интеграл рациональной функции по окружности, то есть снова сумма вычетов.

Пара из списка требует внимания: $\frac{\sin z}{z}$ имеет в нуле устранимую особенность, вычет равен нулю — главной части нет вовсе. Это напоминание: перед формулами проверьте тип точки, иначе формула для полюса даст бессмыслицу на функции без полюса.

Где это используется за пределами задачника#

Метод вычетов — не только экзаменационный приём. В теории вероятностей характеристические функции интегрируют именно так. В обработке сигналов Z-преобразование обращается вычетами: коэффициенты импульсной характеристики — это суммы вычетов в полюсах передаточной функции. В квантовой теории поля пропагаторы содержат полюсы, а ширина резонанса связана с вычетом в полюсе. Итого, одна и та же теорема о вычетах работает в оптике, электронике и статистике.

Подведём итог курса. Комплексные числа дали арифметику, формы записи — повороты и Муавра, условия Коши-Римана — понятие аналитичности, интегральная формула — жёсткость аналитических функций, ряды Лорана — паспорт особых точек, и наконец вычеты превратили всё это в вычислительную машину. Дальше по программе — конформные отображения и их приложения; а закрепить материал можно в шпаргалке по интегралам и таблице производных — без них не обходится ни один вычет.

Классика жанра: $\int_0^{2\pi} \dfrac{d\theta}{2 + \cos\theta}$

1. 1
   Замена: $\cos \theta =\frac{z+z^{-1}}{2}$, $d\theta =\frac{dz}{iz}$; окружность становится единичной
2. 2
   Знаменатель: $2+\frac{z+z^{-1}}{2}=\frac{z^2+4z+1}{2z}$. Интеграл превращается в $-2i\oint \frac{dz}{z^2+4z+1}$
3. 3
   Корни знаменателя: $z=-2\pm \sqrt{3}$. Внутри единичного круга только $z_0=-2+\sqrt{3}\approx -0,268$
4. 4
   Вычет: $\frac{1}{z_0-(-2-\sqrt{3})}=\frac{1}{2\sqrt{3}}$
5. 5
   Итог: $I=-2i\cdot 2\pi i\cdot \frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{2\pi }{\sqrt{3}}\approx 3,63$ — вещественное число, как и положено интегралу по вещественной переменной

Пройдём маршрут взглядом: тригонометрия стала рациональной функцией, особые точки нашлись квадратным уравнением, из двух корней выжил только один — тот, что внутри контура. Ответ проверяется таблично: интеграл ${\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{a+b\cos \theta }$ при $a>|b|$ равен $\frac{2\pi }{\sqrt{a^2-b^2}}$; подставьте $a=2$, $b=1$ — то же $\frac{2\pi }{\sqrt{3}}$.

Быстрая тренировка на ту же формулу: ${\oint }_{|z|=0,5}\frac{dz}{z(z-1)}$. Внутри контура радиуса $0,5$ живёт только ноль. Вычет: ${\lim }_{z\to 0}\frac{z}{z(z-1)}=\frac{1}{z-1}{|}_{z=0}=-1$. Ответ: $-2\pi i$ — одна дробь, один предел, один множитель. Точка $z=1$ вне контура и не платит взнос: проверка «внутри или снаружи» снова решила всё.

И наблюдение про знак: контур обходится против часовой стрелки — стандартное соглашение, и минус в ответе появился из-за отрицательного вычета, а не из-за направления. Если в задаче обход задан по часовой стрелке, итог меняет знак. Аккуратность в направлении обхода стоит столько же, сколько и сам вычет. За подсчёт нулей и полюсов по изменению аргумента вдоль контура отвечает принцип аргумента.

• Вычет — коэффициент при $1/(z-z_0)$ в ряде Лорана
• Простой полюс: предел $(z-z_0)f(z)$ или дробь $g(z_0)/h^{\prime }(z_0)$
• Несколько особых точек внутри контура — вычеты складываются
• Сумма вычетов по всей расширенной плоскости равна нулю — удобная самопроверка