Принцип аргумента
англ. Argument principle
При обходе контура образ кривой наматывается на ноль N − P раз: разность чисел нулей и полюсов внутри читается с полного изменения аргумента f(z).
Идите с компасом вокруг спрятанных магнитов: стрелка дёрнется столько раз, сколько магнитов внутри маршрута. В ТФКП компасом служит аргумент : когда точка обходит замкнутый контур, её образ наматывается на ноль, и полное число оборотов равно — числу нулей минус числу полюсов внутри. Это и есть принцип аргумента; в интегральной форме слева стоит интеграл от логарифмической производной по контуру, делённый на .
Почему работает : возле нуля кратности функция выглядит как , возле полюса порядка — как , и вычет логарифмической производной равен порядку с нужным знаком. Отсюда теорема Руше, подсчёт корней многочлена в секторе и критерий Найквиста устойчивости систем управления. Условие: на контуре нет ни нулей, ни полюсов. Подсчёт нулей и приложения — в уроке применения вычетов, инструменты — в вычетах и термине вычет, база дифференцируемости — в аналитических функциях.
Частые вопросы
Почему в принципе аргумента появляется логарифмическая производная f'/f?
Потому что её вычеты считаются даром. Возле нуля кратности функция выглядит как , и содержит слагаемое ; возле полюса порядка — минус . Интеграл по маленькой окружности вокруг такой точки даёт или , а сумма по всем внутренним точкам и собирает разность . Кратности нулей и полюсов учитываются сами собой, ничего дополнительно проверять не нужно.
При чём здесь критерий Найквиста из теории управления?
Напрямую: устойчивость замкнутой системы проверяется подсчётом оборотов. Годограф частотной характеристики наматывается вокруг точки , и число оборотов равно разности нулей и полюсов характеристического уравнения в правой полуплоскости. Правая полуплоскость — дом неустойчивости: нули там запрещены. Получается принцип аргумента, переодетый в инженерную форму: вместо решения уравнения высокой степени достаточно посчитать повороты графика на комплексной плоскости.