Вычет

Вычет функции $f$ в точке $z_0$ — коэффициент при $(z-z_0{)}^{-1}$ в лорановском разложении вокруг этой точки. Название придумал Коши, и оно точное: при интегрировании степенного ряда по замкнутому контуру все целые степени дают ноль, и лишь член $c_{-1}(z-z_0{)}^{-1}$ что-то «оставляет» — эталонный интеграл $\oint \frac{dz}{z-z_0}=2\pi i$ обнуляется ни при какой другой степени. Вычет — ровно тот коэффициент, который переживает интегрирование. Разложение ищется в рядах Тейлора и Лорана.

Для простого полюса весь ряд строить незачем: ${\mathrm{Res}}_{z=z_0}f={\lim }_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$. Пример: $f(z)=\frac{1}{z^2+1}$, полюс $z=i$. Выносим скобку: $\frac{1}{(z-i)(z+i)}$, умножаем на $(z-i)$, устремляем — остаётся $\frac{1}{2i}=-\frac{i}{2}$. В полюсе порядка $m$ та же идея, но с $(z-z_0{)}^m$ под предел и $m-1$ дифференцированиями. А дальше работает теорема: сложите вычеты всех полюсов внутри контура, домножьте на $2\pi i$ — интеграл готов.

Вычеты — рабочая лошадка ТФКП: контурные интегралы, «тяжёлые» действительные интегралы вроде ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{1+x^2}$, которые добываются замыканием на полуокружность, суммы числовых рядов, обратные преобразования. План боевых действий в задаче всегда один: найти особые точки, выяснить, какие из них внутри контура, посчитать вычеты (по ряду, по пределу, по порядку полюса), сложить и домножить на $2\pi i$. Полный курс приёмов — в уроке вычеты и их применение, база арифметики — в термине комплексное число, формулы под рукой — в шпаргалке по комплексным числам.