Комплексные числа: алгебра и геометрия с примерами

Решите уравнение $x^2=-1$. Квадрат любого вещественного числа неотрицателен, значит, среди обычных чисел ответа нет. Школьный курс на этом закрывает тему, но математики XVI века, решая кубические уравнения, упёрлись в такие корни вплотную — и вместо того, чтобы спасовать, ввели новое число. Так родилась мнимая единица $i$ — число, квадрат которого равен $-1$:

Слово «мнимая» — исторический рудимент: Гаусс называл их «ложно мнимыми», потому что ничего мнимого в них нет. Комплексные числа честно работают в электротехнике (ток и напряжение — это вращающиеся векторы), квантовой механике (волновая функция комплексная) и обработке сигналов. Термин «комплексное число» в словаре портала раскрывает эту историю подробнее, а здесь мы соберём рабочий инструмент за один урок.

Что такое комплексное число#

Комплексное число — это пара вещественных чисел, записанная в виде $z=a+bi$, где $a$ — действительная часть, $b$ — мнимая. Обозначения: $a=\mathrm{Re}z$, $b=\mathrm{Im}z$. Числа вида $a+0i$ — это обычные вещественные числа, то есть вещественная прямая целиком сидит внутри комплексного мира. Числа вида $bi$ с $b\ne 0$ называют чисто мнимыми.

Два числа равны тогда и только тогда, когда совпадают их действительные и мнимые части: $a+bi=c+di$ означает $a=c$ и $b=d$. Отсюда важное следствие: упорядочить комплексные числа «меньше–больше» нельзя. Спросите себя: что больше, $i$ или $-i$? Любой ответ порождает противоречие — например, если $0<i$, то возводим в квадрат и получаем $0<-1$. У комплексных чисел есть расстояния и углы, но нет порядка.

Арифметика: складываем, умножаем, делим#

Сложение и вычитание честные, покомпонентные — скобки раскрывайте как обычно:

Пример: $(3+2i)+(1-4i)=4-2i$. С умножением интереснее: раскрываем скобки и в ключевой момент применяем $i^2=-1$:

Смотрите, что произошло: «страшное» произведение двух комплексных чисел снова оказалось комплексным числом вида $a+bi$. Это не совпадение, а главная прелесть конструкции — умножение не выводит из множества комплексных чисел. Проверьте сами: $(1+i)(1-i)=1-i^2=2$.

Деление сводится к умножению на хитро подобранную единицу. Для числа $z=a+bi$ вводят сопряжённое $\bar{z}=a-bi$ — то же число с перевёрнутым знаком у мнимой части. Ключевое свойство: произведение числа на сопряжённое всегда вещественно:

Чтобы разделить, домножаем числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю — и мнимость внизу испаряется. Например: $\frac{1+2i}{3-4i}$. Снизу стоит $(3-4i)(3+4i)=25$. Сверху $(1+2i)(3+4i)=3+4i+6i+8i^2=-5+10i$. Ответ: $\frac{-5+10i}{25}=-0,2+0,4i$.

К делению примыкает понятие обратного числа: $z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$. Проверка: $(1+i{)}^{-1}=\frac{1-i}{2}$ — действительно, $(1+i)\cdot \frac{1-i}{2}=\frac{2}{2}=1$. Формула хороша тем, что не требует домножений в знаменателе: перевернул знак у мнимой части, поделил на квадрат модуля — готово. А если нужно посчитать $\frac{2-i}{1+i}$, стратегия та же, что и выше:

Геометрия: числа как точки и векторы#

Теперь самое красивое. Комплексное число $z=a+bi$ — это точка с координатами $(a,b)$ на плоскости, или, что то же самое, вектор из начала координат. Такую плоскость зовут комплексной плоскостью: горизонтальная ось — действительные числа, вертикальная — мнимые. Знаменитая картинка с осью $i$ вверх — это она и есть.

Расстояние от точки $z$ до нуля — модуль числа:

Для $z=3+4i$ модуль равен $\sqrt{9+16}=5$. Пифагорова тройка 3–4–5 на комплексной плоскости — та же теорема Пифагора. Модуль умеет арифметику: $|z_1{z}_2|=|z_1|\cdot |z_2|$, а для суммы работает неравенство треугольника $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$ — сумма векторов не длиннее ломаной из них.

У неравенства треугольника есть тонкость, которую любят проверять: равенство достигается только когда векторы $z_1$ и $z_2$ сонаправлены. Аналогично снизу: $|z_1+z_2|\ge ||z_1|-|z_2||$ — модуль суммы не меньше разности модулей. Эти две оценки постоянно появляются при приближенных вычислениях: они позволяют оценить интеграл, не вычисляя его, — вся техника оценок в уроке об интегралах стоит именно на них.

• $\overline{z_1+z_2}={\bar{z}}_1+{\bar{z}}_2$ — сопряжение дружит со сложением
• $\overline{z_1{z}_2}={\bar{z}}_1\cdot {\bar{z}}_2$ — и с умножением тоже
• $z\bar{z}=|z{|}^2$ — произведение на сопряжённое равно квадрату модуля
• $\overline{\stackrel{ˉ}{z}}=z$ — двойное сопряжение возвращает исходное число
• $\mathrm{Re}z=\frac{z+\bar{z}}{2}$, $\mathrm{Im}z=\frac{z-\bar{z}}{2i}$ — части через сопряжение

Сложение чисел — это сложение векторов по правилу параллелограмма: $(1+2i)+(3-i)=4+i$ — просто сдвинули второй вектор к концу первого. Умножение геометрически устроено иначе: растянуть и повернуть. Умножить на $i$ — значит повернуть вектор на $90°$ против часовой стрелки: $(1+i)\cdot i=i+i^2=-1+i$ — точно поворот на четверть оборота. Четыре поворота по $90°$ возвращают на место, и это же видно в алгебре:

Отсюда быстрый способ считать высокие степени: $i^{37}=i^{36}\cdot i=(i^4{)}^9\cdot i=i$ — достаточно остатка от деления показателя на 4. Сопряжённое число в этой картине — отражение точки относительно действительной оси: точка с координатами $(a,b)$ превращается в $(a,-b)$.

Арифметика комплексных чисел сохраняет всё главное из вещественной: сложение и умножение коммутативны и ассоциативны, умножение дистрибутивно относительно сложения, есть нейтральные элементы $0$ и $1$, и каждое ненулевое число обратимо. По-взрослому это выражают одной фразой: комплексные числа образуют поле. Именно поэтому все привычные алгебраические преобразования — раскрытие скобок, группировка, разложение на множители — работают без изменений.

Откуда взялись комплексные числа#

Справедливости ради: квадратные уравнения — не главная причина. Формула Кардано для кубического уравнения (1545 год, книга «Ars Magna») иногда выдаёт вещественные корни через выражения с квадратными корнями из отрицательных чисел. Рафаэль Бомбелли в 1572-м показал, что эти «невозможные» величины можно складывать и умножать по новым правилам — и ответ получается верный. Комплексные числа вошли в математику не как красивая абстракция, а как рабочий инструмент, без которого не сходились вычисления.

Теперь квадратные уравнения решаются без оговорок — по той же школьной формуле через дискриминант. Разберём на числах.

1. 1
   Дискриминант: $D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16$ — отрицательный, в вещественных числах корней нет
2. 2
   Извлекаем корень из отрицательного числа: $\sqrt{-16}=4i$
3. 3
   Формула корней: $x=\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i$
4. 4
   Проверка подстановкой: $(1+2i{)}^2-2(1+2i)+5=(-3+4i)-(2+4i)+5=0$ — верно
5. 5
   Корни сопряжены друг другу: $1+2i$ и $1-2i$ — так бывает всегда у уравнений с вещественными коэффициентами

Последний шаг примера — не совпадение, а теорема: если у многочлена с вещественными коэффициентами есть комплексный корень, то и сопряжённое число тоже корень. Комплексные корни таких многочленов приходят парами, и каждый многочлен с вещественными коэффициентами раскладывается на линейные и квадратичные множители с отрицательным дискриминантом — привычная картина из школьной алгебры, но теперь с объяснением, почему всё сходится.

Ключевая теорема, которую стоит знать уже сейчас: основная теорема алгебры — любой многочлен степени $n$ с комплексными коэффициентами имеет ровно $n$ корней (с учётом кратности). Например, у $x^2+1$ есть два корня: $i$ и $-i$. В комплексной плоскости исчезают все «нерешаемые» уравнения: алгебраически мир становится полным.

Что дальше#

Прежде чем идти дальше, проверьте себя на маленькой задаче: пусть $z_1=3+4i$ и $z_2=4+3i$. Оба модуля равны пяти, но $|z_1+z_2|=|7+7i|=\sqrt{98}\approx 9,9$ — чуть меньше десяти, как и обещает неравенство треугольника. Такие быстрые проверки приучают глаз к геометрии: числа — векторы, модули — длины, сложение — ломаная.

Пара «модуль плюс угол» настолько удобна, что для неё придумали отдельные формы записи — тригонометрическую и показательную. В них умножение превращается в сложение углов, а формула Муавра даёт степени и корни одной строкой. Это следующий урок курса — формы записи и действия. Определение предела последовательности, на которое опирается весь комплексный анализ, разобрано в статье о пределе; там же можно освежить школьную базу по комплексным числам.

Комплексная плоскость — рабочее поле всей ТФКП. Потаскайте точку $z$, постройте спираль её степеней и соберите корни из единицы.