🧭 ТФКП

Как решать задачи с комплексными числами

Q: Как определить аргумент, если точка не в первой четверти?

Смотрите на знаки $a$ и $b$: первая четверть — $\operatorname{arctg}\frac{b}{a}$; вторая ($a 0$) — $\pi - \operatorname{arctg}\left|\frac{b}{a}\right|$; третья — $\pi + \operatorname{arctg}\left|\frac{b}{a}\right|$; четвёртая — $-\operatorname{arctg}\left|\frac{b}{a}\right|$. Быстрый контроль: нарисуйте точку и прикиньте угол по четверти до подстановки в Муавра.

Q: Зачем Муавр, если можно умножать напрямую?

Для $n$-й степени алгебраическая форма разрастается в бессмысленную возню (восемь множителей у $(1+i)^8$, сто — у $(1+i)^{100}$), а в тригонометрической форме степень — один шаг: модуль в степень, аргумент умножить. И корни без Муавра вообще не берутся: распределить $n$ значений по окружности можно только через добавку $2\pi k$.

Порядок действий: алгебраическая форма и сопряжение, деление через сопряжённое, модуль и аргумент с поправкой на четверть, тригонометрическая и показательная формы, формула Муавра и корни n-й степени. Разбор (1+i)⁸.

Сложность: Первый курс 2 схемы действий

Комплексное число $z = a + bi$ живёт на плоскости: $a$ — вещественная координата, $b$ — мнимая. Отсюда два взгляда на одно число: алгебраический (действия покомпонентно) и геометрический (модуль — расстояние до нуля, аргумент — угол наклона вектора). Вся техника темы — умение выбирать форму: алгебраическая хороша для сложения, тригонометрическая и показательная — для степеней и корней. Теория — в уроке комплексные числа, термин — в статье комплексное число.

Порядок действий в типовой задаче почти всегда один: понять, что требуется (действие, степень, корень), перевести числа в удобную форму, выполнить операцию, вернуть ответ в требуемой форме. Половина ошибок — не в арифметике, а в неправильно выбранной форме записи; все переходы разобраны в уроке формы записи и действия.

Как решать задачи с комплексными числами: алгоритм#

Сложение и вычитание — покомпонентно: $(a + bi) \pm (c + d i) = (a \pm c) + (b \pm d) i$ . Считайте $i$ буквой, а $i^{2} = - 1$ — правилом свёртки.
Умножение — как произведение скобок: $(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$ — раскройте распределительно и замените $i^{2}$ на $- 1$ .
Сопряжённое: $\overset{z}{ˉ} = a - bi$ . Ключевое тождество $z \overset{z}{ˉ} = a^{2} + b^{2} = ∣ z ∣^{2}$ — на нём держится деление и все проверки.
Деление: домножьте числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю — $\frac{a + bi}{c + d i} = \frac{( a + bi ) ( c - d i )}{c ^{2} + d ^{2}}$ ; знаменатель становится вещественным числом.
Модуль и аргумент: $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ ; аргумент $φ$ — угол вектора $(a; b)$ , определяется с учётом четверти, а не голым арктангенсом (для $a < 0$ нужна поправка на $π$ ).
Тригонометрическая форма: $z = ∣ z ∣ (cos φ + i sin φ)$ ; показательная: $z = ∣ z ∣ e^{i φ}$ — переход через модуль и четверть аргумента.
Умножение и деление в тригонометрической форме: модули перемножаются или делятся, аргументы складываются или вычитаются — $∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣ \cdot ∣ z_{2} ∣$ , $ar g (z_{1} z_{2}) = φ_{1} + φ_{2}$ .
Степень — формула Муавра: $z^{n} = ∣ z ∣^{n} (cos n φ + i sin n φ)$ . Корень $n$ -й степени даёт ровно $n$ значений: $w_{k} = n ∣ z ∣ (cos \frac{φ + 2 π k}{n} + i sin \frac{φ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$ .

Правило выбора формы: сложение и вычитание — только алгебраическая; одиночное умножение небольших чисел — алгебраическая; деление — сопряжённое (алгебраическая) либо тригонометрическая; степени, большие показатели и корни — только тригонометрическая или показательная. Показательная форма короче всех: в ней Муавр превращается в правило степеней $z^{n} = r^{n} e^{in φ}$ .

Пример решения задачи с комплексными числами#

Считаем $(1 + i)^{8}$ — на первый взгляд возня с восемью множителями, на самом деле три строки через Муавра.

Модуль: $∣1 + i ∣ = 1^{2} + 1^{2} = 2$ .
Аргумент: точка $(1; 1)$ лежит в первой четверти на биссектрисе, поэтому $φ = π /4$ — здесь арктангенс работает без поправок.
Тригонометрическая форма: $1 + i = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$ .
Муавр: $(1 + i)^{8} = (2)^{8} (cos \frac{8 π}{4} + i sin \frac{8 π}{4}) = 16 (cos 2 π + i sin 2 π)$ .
Ответ: $cos 2 π = 1$ , $sin 2 π = 0$ , значит $(1 + i)^{8} = 16$ — вещественное число.
Контроль алгеброй: $(1 + i)^{2} = 1 + 2 i + i^{2} = 2 i$ , далее $(1 + i)^{4} = (2 i)^{2} = - 4$ и $(1 + i)^{8} = (- 4)^{2} = 16$ . Сошлось.

Степень без тригонометрии тоже возможна (проверка выше), но Муавр масштабируется: $(1 + i)^{100}$ квадратированием не посчитать, а формулой — в один шаг: $φ = 100 \cdot \frac{π}{4} = 25 π$ . А корни без добавки $2 π k$ вообще не работают: без неё от $n$ корней останется один.

z = ∣ z ∣ (cos φ + i sin φ) = ∣ z ∣ e^{i φ}, z^{n} = ∣ z ∣^{n} (cos n φ + i sin n φ), w_{k} = n ∣ z ∣ e^{i \frac{φ + 2 π k}{n}}, k = 0, \dots, n - 1

формы записи числа, формула Муавра и все

n

корней: в степенях модуль и аргумент живут раздельно — модуль возводится в степень, аргумент умножается

Задача	Метод	Что учесть
сложить, вычесть $z_{1} \pm z_{2}$	алгебраическая форма, покомпонентно	геометрически — правило параллелограмма
умножить $z_{1} z_{2}$	раскрыть скобки ( $i^{2} = - 1$ ) или тригонометрическая форма	модули перемножаются, аргументы складываются
разделить $\frac{z _{1}}{z _{2}}$	домножить на сопряжённое знаменателю	$(c + d i) (c - d i) = c^{2} + d^{2}$ — знаменатель вещественный
найти $∣ z ∣$ и $ar g z$	модуль через $a^{2} + b^{2}$ , аргумент с четвертью	$a < 0$ — поправка на $π$ , не голый арктангенс
степень $z^{n}$	формула Муавра или $r^{n} e^{in φ}$	аргумент $n φ$ можно привести к диапазону $[0; 2 π)$
корень $n z$	$n$ ветвей: $\frac{φ + 2 π k}{n}$	$n$ корней — вершины правильного $n$ -угольника
формула Эйлера	$e^{i φ} = cos φ + i sin φ$	мост между показательной и тригонометрической формами

Задача → метод: карта темы комплексных чисел

Геометрический словарь дополняет карту. Модуль разности $∣ z_{1} - z_{2} ∣$ — это расстояние между точками $z_{1}$ и $z_{2}$ , поэтому уравнение $∣ z - z_{0} ∣ = R$ задаёт окружность радиуса $R$ с центром $z_{0}$ , а условие $ar g z = φ$ — луч из начала координат. Множество точек, равноудалённых от двух чисел, — серединный перпендикуляр отрезка между ними. Такие переводы «условие → геометрическое место» часто спасают там, где алгебраическая возня не видит простой картинки.

Комплексная плоскость под микроскопом

Тащи точку z!

Схватите точку $z$ и перемещайте. Оранжевая точка $w$ — образ под действием функции: $w = z^{2}$ . Жёлтая линия — образ окружности радиуса $∣ z ∣$ : смотрите, как она изгибается!

1.00 + 0.80i

w (образ)

0.36 + 1.60i

Модуль |z|

1.28

Аргумент arg z

38.7°

У z есть модуль (расстояние от нуля) и аргумент (угол). При возведении в квадрат аргумент удваивается — точка «разгоняется» по кругу.

Типичные ошибки

Первая — аргумент «в лоб»:

arctg \frac{1}{- 1} = - \frac{π}{4}

, но для

- 1 + i

(вторая четверть!) аргумент равен

\frac{3 π}{4}

— арктангенс не знает четверти, смотрите на знаки

a

b

. Вторая — потеря ветвей у корней:

41

имеет четыре значения

1, - 1, i, - i

, а не только

1

; без слагаемого

2 π k

вы найдёте один корень из

n

. Третья — ложная дистрибутивность модуля:

∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣ \cdot ∣ z_{2} ∣

, но

∣ z_{1} + z_{2} ∣ \neq = ∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣

— проверьте на

z_{1} = 1

z_{2} = i

: слева

2

, справа

2

. Четвёртая — потерянный минус:

i^{2} = - 1

, и вся алгебра формы держится на этом свёртывании.

Проверь себя+15 XP

Чему равен $ar g (- 1 + i)$ ?

Проверь себя+15 XP

Чему равно $\frac{i}{1 + i}$ ?

Частые вопросы

Как определить аргумент, если точка не в первой четверти?

Смотрите на знаки $a$ и $b$ : первая четверть — $arctg \frac{b}{a}$ ; вторая ( $a < 0$ , $b > 0$ ) — $π - arctg \frac{b}{a}$ ; третья — $π + arctg \frac{b}{a}$ ; четвёртая — $- arctg \frac{b}{a}$ . Быстрый контроль: нарисуйте точку и прикиньте угол по четверти до подстановки в Муавра.

Зачем Муавр, если можно умножать напрямую?

Для $n$ -й степени алгебраическая форма разрастается в бессмысленную возню (восемь множителей у $(1 + i)^{8}$ , сто — у $(1 + i)^{100}$ ), а в тригонометрической форме степень — один шаг: модуль в степень, аргумент умножить. И корни без Муавра вообще не берутся: распределить $n$ значений по окружности можно только через добавку $2 π k$ .

Почему у корня $n$ -й степени ровно $n$ значений?

Потому что аргумент определён с точностью до полного оборота: углы $φ$ , $φ + 2 π$ , $φ + 4 π$ задают одну и ту же точку, но после деления на $n$ дают разные направления $\frac{φ + 2 π k}{n}$ . Ровно $n$ из них ( $k = 0, \dots, n - 1$ ) различны — вершины правильного $n$ -угольника на окружности радиуса $n ∣ z ∣$ .

Куда дальше: формы записи и все переходы — урок формы записи и действия, теоретическая база — урок комплексные числа; формулы на одном листе — шпаргалка по комплексным числам. Куда Муавр ведёт дальше — в рядах Тейлора и Лорана (формула Эйлера открывает им дорогу) и в аналитических функциях; соседний разбор по курсу — как исследовать сходимость ряда.

Как решать задачи с комплексными числами: алгоритм#

Пример решения задачи с комплексными числами#

Комплексная плоскость под микроскопом

Частые вопросы

Как определить аргумент, если точка не в первой четверти?

Зачем Муавр, если можно умножать напрямую?

Почему у корня n-й степени ровно n значений?

Комплексная плоскость под микроскопом

Почему у корня $n$ -й степени ровно $n$ значений?