Элементарные функции комплексного переменного: e^z, sin z, ln z

У школьной экспоненты характер один: растёт, и всё. У комплексной — совсем другой: $e^z$ умеет вращаться, синус умеет расти бесконечно, а логарифм вообще не функция, а целый веер значений. В этом уроке мы заново знакомимся со старыми знакомыми: в комплексном мире у каждого из них — своя биография.

Экспонента: рост плюс вращение#

Определяем честно: подставим $z=x+iy$ в степенной ряд и соберём слагаемые. Классический результат:

Читаем по частям. Вещественная часть $x$ командует модулем: $|e^z|=e^x$ — экспонента растёт или затухает по горизонтали. Мнимая часть $y$ командует углом: точка $e^z$ лежит на окружности радиуса $e^x$ под углом $y$ радиан. Формула Эйлера $e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi$ — частный случай при $x=0$.

Из определения мгновенно следует свойство, которого у вещественной экспоненты не было: $e^{z+2\pi i}=e^z$. Экспонента периодична с периодом $2\pi i$ по мнимой оси. Подумайте: функция $e^z$ принимает каждое своё ненулевое значение бесконечно много раз — в точках, отличающихся вертикальными сдвигами на $2\pi i$. По этой причине логарифм, её обратная, и порождает многозначность.

Численный пример на понимание: $e^{1+i\pi /2}=e\cdot e^{i\pi /2}=ei\approx 2,718i$. Модуль равен $e\approx 2,718$, угол — $\pi /2$, точка на вертикальной оси. И важное следствие периодичности: уравнение $e^z=1$ имеет бесконечно много решений $z=2\pi ik$, $k\in \mathbb{Z}$, а уравнение $e^z=0$ не имеет ни одного — модуль $e^z$ равен $e^x$ и никогда не обращается в ноль. У вещественной экспоненты были те же свойства, но здесь они видны из геометрии: ноль нельзя намотать на окружность.

Производная честная: проверив условия Коши-Римана (это сделано в уроке об аналитических функциях), получаем $(e^z{)}^{\prime }=e^z$ — единственная аналитическая функция, совпадающая со своей производной во всей плоскости.

Синус и косинус: через экспоненту#

Определение задаётся формулами Эйлера, прочитанными справа налево:

Что это даёт? Всё то же, к чему мы привыкли: $(\sin z{)}^{\prime }=\cos z$, $(\cos z{)}^{\prime }=-\sin z$, верно ${\sin }^{2}z+{\cos }^{2}z=1$, период $2\pi$, нули синуса — точки $\pi n$, нули косинуса — $\pi /2+\pi n$. Никаких новых нулей в комплексной плоскости не появляется: нули ровно те же, что у вещественных собратьев.

А вот прямое и полезное следствие определения — разделение синуса и косинуса на вещественную и мнимую часть при $z=x+iy$. Раскрываем экспоненты и собираем:

1. 1
   По определению: $\sin z=\frac{e^{i(x+iy)}-e^{-i(x+iy)}}{2i}=\frac{e^{-y}{e}^{ix}-e^y{e}^{-ix}}{2i}$
2. 2
   Раскрываем $e^{ix}$ и $e^{-ix}$ по Эйлеру и группируем слагаемые с $i$ и без
3. 3
   Вещественная часть собирается в $\sin x\mathrm{ch}y$, мнимая — в $\cos x\mathrm{sh}y$
4. 4
   Итог: $\sin (x+iy)=\sin x\mathrm{ch}y+i\cos x\mathrm{sh}y$ — и аналогично $\cos (x+iy)=\cos x\mathrm{ch}y-i\sin x\mathrm{sh}y$

Формула мгновенно даёт числа. При $z=1+i$: $\sin (1+i)=\sin 1\mathrm{ch}1+i\cos 1\mathrm{sh}1\approx 1,298+0,635i$; $\cos (1+i)\approx 0,834-0,989i$. Модуль синуса здесь уже перевалил за единицу — без всякой мнимой оси, просто потому что $\mathrm{ch}1\approx 1,54$. Приучайтесь: в комплексном мире синус — растущая функция, и таблица ниже показывает, кто где живёт.

А вот поведение — новое. Подставим чисто мнимый аргумент $z=iy$ и применим определение:

Синус на мнимой оси растёт как гиперболический синус — без всяких ограничений. Никакого «синус не превышает единицы»: $|\sin (2i)|=\mathrm{sh}2\approx 3,63$, а $|\sin (10i)|\approx 11013$. Забудьте школьную полосу между $-1$ и $1$ — в комплексной плоскости её нет. Именно неограниченность делает синус по-настоящему полезным в физике волн: комбинации $\sin (x+iy)$ описывают волны с затуханием и ростом амплитуды одновременно.

Рядом живут гиперболические функции, известные с вещественного анализа, — теперь они связаны с тригонометрией простыми сдвигами:

Между гиперболическими и тригонометрическими функциями полное родство: $\mathrm{sh}(iz)=i\sin z$, $\mathrm{ch}(iz)=\cos z$, а основное тождество ${\mathrm{ch}}^{2}z-{\mathrm{sh}}^{2}z=1$ выводится из ${\sin }^{2}z+{\cos }^{2}z=1$ заменой $z\to iz$ с учётом смены знака. Производные тоже знакомые: $(\mathrm{sh}z{)}^{\prime }=\mathrm{ch}z$, $(\mathrm{ch}z{)}^{\prime }=\mathrm{sh}z$ — но обратите внимание на отсутствие минуса, это постоянный источник мелких ошибок в контрольных.

Логарифм: осторожно, многозначен#

Хотим обратить $e^w=z$. Модуль даёт одно уравнение: $e^{\mathrm{Re}w}=|z|$, значит $\mathrm{Re}w=\ln |z|$. Аргумент даёт другое: $\mathrm{Im}w=\arg z$, а аргумент многозначен — шаг между ветвями $2\pi$. Итог:

Комплексный логарифм — многозначная функция. Если срезать до главного значения $\mathrm{Arg}z\in (-\pi ,\pi ]$, получим главную ветвь $\mathrm{Ln}z=\ln |z|+i\mathrm{Arg}z$ — она однозначна и аналитична во всей плоскости, разрезанной вдоль отрицательной вещественной оси. Разрез нужен потому, что, обходя ноль по кругу, аргумент непрерывно накручивает обороты и возвращает с «переплатой» $2\pi i$: функция прыгает. Точка $z=0$ называется точкой ветвления.

Правило логарифма произведения здесь требует оговорки. Равенство $\ln (z_1{z}_2)=\ln z_1+\ln z_2$ верно лишь как равенство множеств значений: левая часть может выбрать ветвь, не согласованную с правыми. Числовой пример: $\ln ((-1)\cdot (-1))=\ln 1=2\pi ik$, а $\ln (-1)+\ln (-1)=i\pi +i\pi =2\pi i$ при главных ветвях — совпало, но возьмите $\ln (-1)+\ln (-8)$: главные значения дают $i\pi +i(\ln 8+\pi )=i(\ln 8+2\pi )$, тогда как главное значение $\ln 8$ — просто $\ln 8$. Разница $2\pi i$ ушла в другой лист многозначности.

Примеры: $\ln i=\ln 1+i(\pi /2+2\pi k)=i(\pi /2+2\pi k)$ — главное значение $i\pi /2$. Ещё эффектнее $\ln (-1)=i\pi (2k+1)$: отрицательные вещественные числа получили логарифмы, и все они чисто мнимые. Вещественный логарифм отказывался работать слева от нуля — комплексный принимает всё, кроме нуля.

Степень с любым показателем и знаменитый i^i#

Как считать $2^{\sqrt{2}}$ или $i^i$? Через логарифм: $z^a$ определяется формулой $z^a=e^{a\ln z}$. Многозначность логарифма обычно передаётся и степени — если $a$ не целое, значений будет несколько. Пример попроще: $2^i=e^{i\mathrm{Ln}2}=\cos (\ln 2)+i\sin (\ln 2)\approx 0,769+0,639i$ — обычное комплексное число с модулем единица, потому что показатель чисто мнимый. А вот целые показатели ведут себя скученно правильно: $z^2$, $z^3$ однозначны, потому что множитель $a$ целое число $n$ съедает добавку $2\pi ik$ в экспоненте: $e^{2\pi ink}=1$.

Обратите внимание на последнее: $e^{3\pi /2}\approx 111,3$ — тоже значение $i^i$. Эйлер вычислил это в 1746-м и сам удивлялся. Урок здесь такой: в комплексном мире каждое выражение нужно читать через определение, а не по вещественной интуиции. Проверьте условия Коши-Римана для $\mathrm{Ln}z$ в его полярной записи — производная получится $(\mathrm{Ln}z{)}^{\prime }=1/z$, ровно как в вещественном случае.

Элементарные функции собраны. Все они аналитичны в своих областях, и это открывает дорогу к интегралам по кривым: как считается ${\int }_{C}f(z)dz$, когда путь $C$ — настоящая кривая на плоскости? Ответ — в следующем уроке об интегрировании функций комплексного переменного, где появится формула Коши — самый мощный инструмент курса. Кстати, разложения синуса и экспоненты в ряды, упомянутые выше, подробно разобраны в статье о рядах.

Тренировочное число: $\mathrm{sh}(1+i)$. Формула расщепления гиперболического синуса симметрична синусной: $\mathrm{sh}(x+iy)=\mathrm{sh}x\cos y+i\mathrm{ch}x\sin y$. Подставляем $x=1$, $y=1$: $1,175\cdot 0,540+1,543\cdot 0,841i\approx 0,635+1,298i$. Сравните с $\sin (1+i)\approx 1,298+0,635i$ из разбора выше: вещественная и мнимая части поменялись местами — прямое следствие связи $\mathrm{sh}z=-i\sin (iz)$. Такие пары чисел удобно держать под рукой для самопроверки формул: перепутали синус с гиперболическим — числа сразу намекнут.