Интегрирование функций комплексного переменного и формула Коши

Вещественный интеграл ходит по прямой: от $a$ до $b$ по оси. Комплексный интеграл ходит по настоящей кривой — точка может добираться из $0$ в $1+i$ по диагонали, по дуге, змейкой. И главный вопрос здесь не «как посчитать», а «меняется ли ответ от пути». Для аналитических функций ответ поразительный: не меняется. А из этого вырастает формула, которая умеет вычислять значения функции по её значениям на границе.

Интеграл по кривой: определение#

Пусть $C$ — гладкая кривая на комплексной плоскости, заданная параметрически: $z=z(t)$, $t\in [\alpha ,\beta ]$, с производной $z^{\prime }(t)$, не зануляющейся. Разбиваем кривую точками, составляем интегральные суммы — и в пределе получаем:

Это определение — прямое обобщение криволинейного интеграла: вместо скалярного элемента длины берётся комплексный элемент $dz=dx+idy$. Раскрывая $f=u+iv$ и $dz$, получаем пару обычных криволинейных интегралов второго рода:

Практический вывод: считать такой интеграл — значит подставить параметризацию и взять вещественный интеграл по $t$. Никакой новой техники, кроме той, что уже известна из первого семестра.

Показательный пример: когда путь имеет значение#

Интегрируем $f(z)=\bar{z}$ из $0$ в $1+i$ двумя путями. Первый — по диагонали $z=t+it$, $t$ от $0$ до $1$. Тогда $dz=(1+i)dt$ и $\bar{z}=t-it$:

Второй путь — ломаная: сначала по оси от $0$ до $1$, затем вверх от $1$ до $1+i$. Первый кусок: $z=t$, $dz=dt$, интеграл ${\int }_0^{1}tdt=1/2$. Второй кусок: $z=1+it$, поэтому $\bar{z}=1-it$ и $dz=idt$: ${\int }_0^1(1-it)idt={\int }_0^1(i+t)dt=i+1/2$. Итого: $1/2+i+1/2=1+i$.

Ответы разные: $1$ против $1+i$. Интеграл от $\bar{z}$ зависит от пути — и это не дефект, а диагноз: $\bar{z}$ не аналитична (условия Коши-Римана рушатся, см. урок об аналитических функциях). А теперь то же самое с аналитической функцией.

Первообразная и теорема Коши#

Если у $f$ есть первообразная $F$ с $F^{\prime }=f$, то всё как в вещественном анализе — интеграл равен разности значений на концах:

Пример: ${\int }_{C}zdz$ из $0$ в $1+i$. Первообразная $z^2/2$: ответ $\frac{(1+i{)}^2}{2}=\frac{2i}{2}=i$. По любому пути — диагональ, дуга, ломаная — ответ $i$. Аналитичность в односвязной области гарантирует существование первообразной, и вот теорема, ради которой назвали полк инструментов:

Именно поэтому интеграл от $z$ по замкнутому контуру всегда ноль: у аналитической функции нет «циркуляции». У $\bar{z}$ — есть, как мы видели. Заметьте условие «односвязной»: внутри контура не должно быть дырок с неаналитичностью. Дырка-полюс меняет всё — смотрим ниже.

Интегральная формула Коши#

Функция $1/z$ аналитична везде, кроме нуля. Интеграл по окружности $|z|=r$ вокруг нуля: подставляем $z=r{e}^{it}$, $dz=ir{e}^{it}dt$:

Впервые ненулевой замкнутый интеграл — $2\pi i$. Мало того: $\oint z^{-n}dz=0$ для всех степеней, кроме $n=1$. Единственная «живая» степень — минус первая, и её вклад равен $2\pi i$. Этот факт — сердце всей теории вычетов (урок о вычетах покажет, как из него выжать интегралы за один ход). Обобщение на произвольную аналитическую функцию — интегральная формула Коши:

Читаем медленно. $C$ — замкнутый контур, внутри которого $f$ аналитична, $z_0$ — любая внутренняя точка. Тогда значение $f$ в центре выражается интегралом по границе. Функция аналитическая не умеет прятать свои значения: заглянули на контур — прочитали всё внутри. В этом смысле аналитичность — идеальная жёсткость: нет «мёртвых зон», как у скалярных полей.

Продифференцируем формулу по $z_0$ — правую часть можно дифференцировать под знаком интеграла, и получится формула для производных:

Следствия посыпаются сами. Раз $f^{(n)}$ выражается интегралом, производные существуют все до бесконечности — аналитическая функция бесконечно гладкая. Если $|f|\le M$ на всей плоскости, оценка интеграла по растущему контуру даёт $f^{\prime }=0$, то есть $f$ постоянна — теорема Лиувилля. А из Лиувилля одной строкой вытекает основная теорема алгебры.

Рабочие примеры#

Ещё один классический тип: ${\oint }_{|z|=3}\frac{\cos z}{z^2}dz$. Здесь фокус с формулой для производной: $\cos z/(z^2)=f(z)/z^{1+1}$ при $f(z)=\cos z$. Интеграл равен $\frac{2\pi i}{1!}{f}^{\prime }(0)=2\pi i\cdot (-\sin 0)=0$. Дерзкая проверка через вычет: $\frac{\cos z}{z^2}=\frac{1}{z^2}-\frac{1}{2}+\frac{z^2}{24}-\dots$ — коэффициент при $1/z$ отсутствует, интеграл ноль. Сошлось.

Последняя пара — ловушка с чутьём: точка $z=-3$ лежит вне контура $|z|=2$, подынтегральная функция аналитична внутри, теорема Коши обнуляет интеграл. Умение быстро проверять «внутри или снаружи» — половина успеха на контрольной. Полная таблица интегралов и первообразных ждёт в шпаргалке по интегралам — пригодится для первообразных вида $F(z)=\sin z$, $e^z$, $\ln$ в разрезанной плоскости.

Что дальше? Интегральная формула Коши — ключ к представлению функций рядами: из неё выводится разложение в ряд Тейлора с точным радиусом сходимости, а чуть более хитрая версия даёт ряд Лорана и классификацию особых точек. Об этом — следующий урок о рядах Тейлора и Лорана. Понятие криволинейного интеграла первого и второго рода, на которое опирается всё построение, освежите в словарной статье об интеграле.

Замкнутый контур с неаналитичной функцией: $\oint_{|z| = r} \bar{z}\,dz$

Теорема Коши требует аналитичности, а $\bar{z}$ ей не обладает нигде. Посмотрим, что будет на окружности: параметризуем $z=r{e}^{it}$, тогда $\bar{z}=r{e}^{-it}$ и $dz=ir{e}^{it}dt$. Произведение $\bar{z}dz=r{e}^{-it}\cdot ir{e}^{it}dt=i{r}^{2}dt$ — константа!

Числа: при $r=1$ ответ $2\pi i$, при $r=2$ — уже $8\pi i$. Интеграл по замкнутому контуру оказался ненулевым и зависящим от радиуса — полная противоположность аналитическому миру, где замкнутый интеграл обязан быть нулём. Это «циркуляция» неаналитичности: она размазана по каждой точке, а не сидит в отдельном полюсе.

Бонус в копилку инструментов — оценка модуля интеграла (неравенство ML): $\left|{\oint }_{C}fdz\right|\le M\cdot L$, где $M$ — максимум $|f|$ на контуре, $L$ — его длина. Для единичной окружности $L=2\pi$: если $|f|\le 0,01$, интеграл по модулю не превышает $0,02\pi$. Именно этой оценкой доказывают исчезновение дуги в методе вычетов — привычка оценивать вместо точного счёта выручает регулярно.

И тонкость про направление: интеграл по замкнутому контуру принято брать против часовой стрелки — это положительное направление обхода. Поменяли обход — поменяли знак ответа. Если контур задан словами «по окружности по часовой стрелке», аккуратный студент сначала приведёт обход к стандартному, а уже потом применит формулы Коши и вычетов.