🧭 ТФКП

Интегральная формула Коши

Q: Откуда следует бесконечная дифференцируемость аналитической функции?

Из самой формулы: правая часть зависит от $z_0$ через ядро $1/(z - z_0)$, которое гладко до бесконечности, пока точка сидит внутри контура. Дифференцируйте под знаком интеграла сколько угодно раз — каждая производная существует и выражается интегралом с $n!$ и степенью $(z - z_0)^{n + 1}$. В вещественном мире так не бывает: функция бывает один раз дифференцируемой, а второй производной у неё просто нет.

англ. Cauchy integral formula

Значения аналитической функции внутри контура восстанавливаются по значениям на самом контуре: f(z₀) равен интегралу от f(z)/(z−z₀), делённому на 2πi.

Голограмма: по кромке пластины, где записан всего лишь узор интерференции, восстанавливается вся объёмная картина. Точно так же устроена интегральная формула Коши: если $f$ аналитична внутри и на замкнутом контуре $γ$ , то значение в любой внутренней точке $z_{0}$ вычисляется интегралом по границе от $f (z) / (z - z_{0})$ . Край знает всё о внутренности — свойства, которого у вещественного дифференцирования нет и в помине: там по значениям на границе отрезка функцию не восстановишь.

Дифференцируйте формулу под знаком интеграла — получите производные любого порядка: $f^{(n)} (z_{0}) = \frac{n !}{2 π i} \oint \frac{f ( z )}{( z - z _{0} ) ^{n + 1}} d z$ . Из этого вырастает каркас курса: бесконечная дифференцируемость аналитических функций, ряд Тейлора, принцип максимума модуля, теорема Лиувилля. Контуры и вычисления — в уроке интегралы от КФ, аналитический каркас — в аналитических функциях, ряды-следствия — в материале ряды Тейлора и Лорана, максимумы — в термине принцип максимума, техника криволинейного счёта — в криволинейном интеграле.

f (z_{0}) = \frac{1}{2 π i} \oint_{γ} \frac{f ( z )}{z - z _{0}} d z, f^{(n)} (z_{0}) = \frac{n !}{2 π i} \oint_{γ} \frac{f ( z )}{( z - z _{0} ) ^{n + 1}} d z

интегральная формула Коши и формула для производных: значение и все производные аналитической функции в точке

z_{0}

внутри контура определяются значениями

f

на самом контуре

Частые вопросы

Чем интегральная формула Коши отличается от интегральной теоремы Коши?

Роли противоположны. Теорема говорит: у аналитической в области функции интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю — деформации контура бесплатны. Формула — рабочий инструмент: она вычисляет ненулевой интеграл от $f (z) / (z - z_{0})$ , где особенность единственная и деликатная. Из теоремы формула выводится, а из формулы растут производные, ряды Тейлора и оценки максимума — продолжение в материале ряды Тейлора и Лорана.

Откуда следует бесконечная дифференцируемость аналитической функции?

Из самой формулы: правая часть зависит от $z_{0}$ через ядро $1/ (z - z_{0})$ , которое гладко до бесконечности, пока точка сидит внутри контура. Дифференцируйте под знаком интеграла сколько угодно раз — каждая производная существует и выражается интегралом с $n!$ и степенью $(z - z_{0})^{n + 1}$ . В вещественном мире так не бывает: функция бывает один раз дифференцируемой, а второй производной у неё просто нет.