🧭 ТФКП

Существенно особая точка

англ. Essential singularity

Особая точка с бесконечной главной частью: предела нет ни конечного, ни бесконечного; возле неё функция принимает почти любые значения — теорема Пикара.

Калейдоскоп: каждый поворот — новый узор, и никакого среднего не разглядеть. Так ведёт себя функция возле существенно особой точки — особой точки, у которой главная часть ряда Лорана бесконечна: отрицательных степеней бесконечно много. Классика — $e^{1/ z}$ в нуле: разложение $1 + 1/ z + 1/ (2! z^{2}) + \dots$ обрываться не собирается. Предела здесь нет ни конечного, ни бесконечного: в любой проколотой окрестности значения мечутся по всей комплексной плоскости, покрывая её плотным слоем.

Два результата описывают этот хаос. Теорема Касорати — Вейерштрасса: образ любой проколотой окрестности всюду плотен в $C$ . Большая теорема Пикара сильнее: каждое число, кроме, быть может, одного, принимается бесконечно часто. У $e^{1/ z}$ исключён ноль: экспонента в ноль не попадает никогда, а единица выходит в бесконечно многих точках $z = 1/ (2 π ik)$ . Разложения элементарных функций — в материале элементарные функции КФ, герой — экспонента, классификация — в уроке вычеты и термине ряд Лорана.

e^{1/ z} = n = 0 \sum \infty \frac{1}{n ! z ^{n}}, e^{1/ z} = a \Leftrightarrow z = \frac{1}{Ln a + 2 π ik}, k \in Z

существенно особая точка

z = 0

у экспоненты от обратного аргумента: уравнение

e^{1/ z} = a

имеет бесконечно много решений, сгущающихся к нулю, для любого

a \neq = 0

Частые вопросы

Что говорят теоремы Касорати — Вейерштрасса и Пикара?

Первая утверждает: в любой сколь угодно малой проколотой окрестности существенно особой точки значения функции ложатся всюду плотно — между любыми двумя числами отыщется значение из окрестности. Вторая, сильнее: все комплексные значения, кроме разве что одного, принимаются бесконечное число раз. Для $e^{1/ z}$ исключён только ноль. Разница как между «встретить почти любой номер» и «собрать полную коллекцию без пропусков».

Чем существенно особая точка отличается от полюса?

Порядком катастрофы. У полюса главная часть ряда Лорана обрывается, модуль уходит в бесконечность монотонно — как у $1/ z$ . В существенно особой точке отрицательных степеней бесконечно много, никакого предела нет ни конечного, ни бесконечного, и значения не просто велики — они непредсказуемо разбросаны. Типичная ошибка на экзамене: назвать $e^{1/ z}$ полюсом. Это не так: главная часть бесконечна, поведение хаотично.