🧭 ТФКП

Ряд Лорана

англ. Laurent series

Ряд Тейлора, которому разрешили отрицательные степени: двусторонний ряд по степеням (z−z₀), сходящийся в кольце. Главная часть ряда мгновенно диагностирует тип особой точки.

Ряд Лорана — это ряд Тейлора, которому разрешили отрицательные степени. Степенной ряд описывает функцию лишь внутри круга, где она аналитична (что такое аналитичность — в уроке аналитические функции); стоит в круге появиться проколу вроде полюса, и тейлоровский аппарат ломается. Лоран расширил круг до кольца: если функция аналитична в кольце $r < ∣ z - z_{0} ∣ < R$ , её можно разложить там в двусторонний ряд по степеням $(z - z_{0})$ . Отрицательные степени отвечают за поведение рядом с особенностью — поэтому без рядов Лорана не обходится ни один разговор о вычетах.

f (z) = n = - \infty \sum + \infty c_{n} (z - z_{0})^{n}, c_{n} = \frac{1}{2 π i} \oint_{γ} \frac{f ( ζ )}{( ζ - z _{0} ) ^{n + 1}} d ζ

разложение в кольце r < |z−z₀| < R; γ — любой замкнутый контур в кольце, обходящий z₀ против часовой стрелки

Интегральная формула коэффициентов красива, но на практике разложение почти всегда добывается алгеброй: готовыми рядами $\frac{1}{1 - w} = 1 + w + w^{2} + \dots$ , экспонентой, заменами вида $w = 1/ z$ . Ряд распадается на две половины с разными характерами. Правильная часть ( $n \geq 0$ ) — обычный степенной ряд, внутри своего радиуса ведёт себя безупречно. Главная часть ( $n < 0$ ) — отрицательные степени $(z - z_{0})^{- 1}, (z - z_{0})^{- 2}, \dots$ — и по её виду читается диагноз особой точки: главная часть пуста — особенность устранимая, конечна — полюс порядка числа членов, бесконечна — существенная особенность.

Анатомия ряда Лорана

Нажимай на части!

Каждая часть формулы кликабельна — под ней появится объяснение её роли. Так формулы перестают быть кашей из символов.

Нажмите на любую часть формулы выше

Живой пример: $f (z) = e^{1/ z}$ . Подставляем $w = 1/ z$ в знакомое разложение экспоненты: $e^{1/ z} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2 ! z ^{2}} + \frac{1}{3 ! z ^{3}} + \dots$ Главная часть бесконечна — в нуле существенная особенность, никаким конечным числом полюсов её не описать. А вот $\frac{1}{1 - z}$ в кольце $∣ z ∣ > 1$ раскладывается как $- (\frac{1}{z} + \frac{1}{z ^{2}} + \dots)$ — чистая главная часть: полюс $z = 1$ лежит ровно на внутренней границе кольца. Коэффициент при $(z - z_{0})^{- 1}$ в любом таком разложении — вычет, через который считаются контурные интегралы (полный разбор — в уроке вычеты и их применение).

Куда дальше: вывод коэффициентов и техника разложений — в уроке ряды Тейлора и Лорана, база арифметики — в термине комплексное число, все формулы на одном листе — в шпаргалке по комплексным числам.

Частые вопросы

Чем ряд Лорана отличается от ряда Тейлора?

Тейлор — только неотрицательные степени и круг сходимости; Лоран — двусторонний ряд, живущий в кольце. У аналитической в точке $z_{0}$ функции главная часть пуста, и ряд Лорана превращается в тейлоровский: Тейлор — частный случай.

Как определить тип особой точки по ряду Лорана?

Посмотрите на главную часть. Пуста — особенность устранимая. Конечное число членов, старшая степень $(z - z_{0})^{- m}$ — полюс порядка $m$ . Бесконечно много членов — существенная особенность: возле неё функция принимает почти любые значения.

Зачем ряд Лорана, если есть Тейлор?

У функции с особенностями тейлоровский ряд просто не сходится в нужных местах. Ряд Лорана работает в кольцах с «дыркой», описывает поведение у полюсов и существенных особенностей, а его коэффициент при $(z - z_{0})^{- 1}$ — вычет, на котором стоит вся техника контурных интегралов.